สูตรที่อาจไม่เคยเจอในตำราไหนมาก่อนในวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

[tngngoapm]

พิจารณาอีก1ตัวอย่าง
กำหนดเมตริกซ์...$A=\bmatrix{1&2&3\\2&3&4\\4&3&2}$
$$\vmatrix{1&2&3\\2&3&4\\4&3&2}=0$$
..แต่พิกัด$(1,2,3),(2,3,4)และ(4,3,2)ไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน$
...แสดงคุณสมบัติดิเทอร์มิแนนท์ยังไม่เพียงพอที่จะนำมาบ่งบอกถึงการอยู่บนแนวเดียวกันของพิกัดทั้งสาม

[tngngoapm]

1.เงื่อนไขอันดับแรกที่ควรต้องตรวจสอบหรือ"เงื่อนไขจำเป็น"
คือเมตริกซ์ของพิกัดทั้ง3จุดต้องมีดิเทอร์มมิแนนท์(determinant)
เท่ากับศูนย์ถ้าไม่ใช่จะสามารถบอกได้ทันทีว่า
ทั้ง3จุดนั้นไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

2.ถ้าเงื่อนไขแรกผ่านแล้วแปลว่าต้องทดสอบต่อไปคือ
เงื่อนไขที่เป็นตัวชี้ขาดว่าทั้งสามจุดนั้นอยู่เส้นตรงเดียวกันแน่ๆหรือ
"เงื่อนไขพอเพียง" ให้พิจารณาเมตริกซ์แอดจอยน์(adjoint)ของเมตริกซ์พิกัด
ถ้าผลบวกของสมาชิกในแต่ละแถวของเมตริกซ์แอดจอยน์เท่ากับศูนย์ในทุกๆแถวแล้ว
จะสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดทั้งสามในพิกัดสามมิติอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

[tngngoapm]

...ถ้าเมตริกซ์$A$คือเมตริกซ์ของพิกัดของจุด3จุด$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)และ(x_3,y_3,z_3)$หรือ
$$A=\bmatrix{x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3}$$
และดิเทอมิแนนท์ของเมตริกซ์$A$มากกว่าศูนย์หรือ$|A|>0$แล้ว

...สมการระนาบที่ผ่าน3จุดนั้นคือ
$$|\bmatrix{x&y&z}[adj.(A)]\bmatrix{1\\1\\1}|=|A|$$

[tngngoapm]

...ถ้าเมตริกซ์$A$คือเมตริกซ์ของพิกัดของจุด4จุด$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)และ(x_4,y_4,z_4)$หรือ
$$A=\bmatrix{x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1}$$
และดิเทอมิแนนท์ของเมตริกซ์$A$มากกว่าศูนย์หรือ$|A|>0$แล้ว

...ระบบสมการระนาบผิวข้างที่ประกอบกันเป็นรูปทรงปิระมิดที่ผ่าน4จุดนั้นสามารถเขียนให้อยู่ใรรูปสมการเมทริกซ์คือ
$$[C_{ij}(A)]\bmatrix{x\\y\\z\\1}=\bmatrix{0\\0\\0\\0}$$
โดย$[C_{ij}(A)]=[adj.(A)]^t$

[tngngoapm]

ในระบบพิกัด3มิติสามารถกำหนด
สมการระนาบได้ในรูปแบบเช่น...
$3x+4y-5z=6$ เป็นต้น
ซึ่งในระนาบนั้นจะประกอบด้วยจุดพิกัด $(x,y,z)$
นับไม่ถ้วนที่สอดคล้องกับสมการระนาบข้างต้น
...และถ้าจุดเหล่านั้นมีการเคลื่อนไหวอยู่ตลอดเวลา
แสดงว่าการแสดงพิกัดเหล่านั้นสามารถแสดงในรูป4มิติคือ
$(x,y,z,t)$โดยเพิ่มมิติของเวลาเข้าไปเช่น
...สมการการเคลื่อนที่ของระนาบ
$$3x+4y-5z+7t=6$$
จะแทนระนาบ $3x+4y-5z=6$ทึ่เริ่มเคลื่อนทึ่ในแนวเส้นตรงในทิศทางเวกเตอร์
$-(3i+4j-5k)$ทั้งระนาบด้วยความเร็ว $7/(3^2+4^2+5^2)^{1/2}$หรือเท่ากับ $7(2^{1/2})/10$ หน่วยต่อเวลา