การหาเมตริกซ์อินเวอร์ส$A^{-1}$

[tngngoapm]

เคยสงสัยไหมครับว่าการหาอินเวอร์สของเมตริกซ์จากสูตรที่เราท่องกัน $A^{-1}=\frac{1}{detA}[adj.A]$หามาได้อย่างไร ผมขอนำเสนอวิธีพิสูจน์แบบหนึ่งที่ใช้ความรู้ในระดับชั้นม.ปลายนะครับ
1.ยกตัวอย่างเมตริกซ์3x3 เช่น กำหนดให้ $A=\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}$และ$A^{-1}=\bmatrix{x & \dot x &\ddot x \\ y & \dot y &\ddot y \\z&\dot z &\ddot z }$
2.เขียนสมการเมตริกซ์อินเวอร์ส $A^{-1}A=AA^{-1}=I$
$\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}\bmatrix{x & \dot x &\ddot x \\ y & \dot y &\ddot y \\z&\dot z &\ddot z }=\bmatrix{1 & 0&0 \\ 0 & 1&0\\0&0&1}$
3.แยกเป็นสมการเมตริกซ์ 3 สมการได้ดังนี้
$\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}\bmatrix{x\\y\\z}=\bmatrix{1\\0\\0}$.......สมการ1
$\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}\bmatrix{\dot x\\\dot y\\ \dot z}=\bmatrix{0\\1\\0}$.......สมการ2
$\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}\bmatrix{\ddot x\\\ddot y\\\ddot z}=\bmatrix{0\\0\\1}$.......สมการ3
4.สมการ 1,2,3.......ใช้กฎคราเมอร์หาค่า $x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z,\ddot x,\ddot y,\ddot z$ ได้คือ
$x=\frac{\bmatrix{1 & b&c \\ 0 & e&f\\0&h&i}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}=\frac{C_{11}}{detA} $,$\dot x=\frac{\bmatrix{0 & b&c \\ 1 & e&f\\0&h&i}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}=\frac{C_{21}}{detA} $,$\ddot x=\frac{\bmatrix{0 & b&c \\ 0 & e&f\\1&h&i}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}\frac{C_{31}}{detA} $
$y=\frac{\bmatrix{a & 1&c \\ d & 0&f\\g&0&i}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}=\frac{C_{12}}{detA} $,$\dot y=\frac{\bmatrix{a & 0&c \\ d & 1&f\\g&0&i}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}=\frac{C_{22}}{detA} $,$\ddot y=\frac{\bmatrix{a & 0&c \\ d & 0&f\\g&1&i}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}\frac{C_{32}}{detA} $
$z=\frac{\bmatrix{a & b&1 \\ d & e&0\\g&h&0}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}=\frac{C_{13}}{detA} $,$\dot z=\frac{\bmatrix{a & b&0 \\ d & e&1\\g&h&0}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}=\frac{C_{23}}{detA} $,$\ddot z=\frac{\bmatrix{a & b&0 \\ d & e&0\\g&h&1}}{\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i}}\frac{C_{33}}{detA} $
5. $\bmatrix{x & \dot x &\ddot x \\ y & \dot y &\ddot y \\z&\dot z &\ddot z }=\frac{1}{detA} \bmatrix{ C_{11}& C_{21}&C_{31} \\ C_{12} &C_{22} &C_{32}\\C_{13}&C_{23}&C_{33} }=\frac{1}{detA}\bmatrix{ C_{11}& C_{12}&C_{13} \\ C_{21} &C_{22} &C_{23}\\C_{31}&C_{32}&C_{33} }^{t}=\frac{1}{detA}[adj.A] $

[tngngoapm]

กฎของคราเมอร์ก็สามารถพิสูจน์ ให้พอเข้าใจได้ง่ายๆนะครับ.......
กฎของคราเมอร์ ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร โดยวิธีเมทริกซ์
ยกตัวอย่างเช่น ระบบสมการเชิงเส้น3ตัวแปร $x,y,z$
$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}..............(1)$
$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}..............(2)$
$a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}..............(3)$
รากของสมการก็คือ............
$x=\frac{\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\ d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} },
y=\frac{\vmatrix{a_{1}&d_{1}&c_{1}\\ a_{2}&d_{2}&c_{2}\\a_{3}&d_{3}&c_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} },
z=\frac{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&d_{1}\\ a_{2}&b_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&d_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} }$
ก่อนอื่นเขียนสมการเมทริกซ์แทนระบบสมการได้คือ..........
$\bmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} \bmatrix{x\\y\\z} =\bmatrix{d_{1}\\d_{2}\\d_{3}}$
ดัดแปลงสมการเมทริกซ์จาก $3x1$ ให้เป็น $3x3$.........(ต้องอาศัยการมอง%%%สักหน่อย)
$\bmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} \bmatrix{x&0&0\\y&1&0\\z&0&1} =\bmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}}$
ใส่ $det()$ ทั้ง2ข้าง.........
$\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} \vmatrix{x&0&0\\y&1&0\\z&0&1} =\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}}$
ซึ่งก็คือ............
$\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} (x)=\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}}$
สรุป......
$x=\frac{\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\ d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} }$
ค่า $y,z$ ก็ทำแบบเดียวกันครับ

[tngngoapm]

ความหมายทางเรขาคณิตของเมตริกซ์อินเวอร์สของพิกัดฉาก3มิติ

"ถ้ากำหนดให้เมตริกซ์ $A$ คือเมตริกซ์ของพิกัดของจุด 3 จุดในระบบพิกัดฉากสามมิติแล้ว...อินเวอร์สของมันก็คือเวกเตอร์ 3 เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ3ระนาบที่เชื่อมจุดทั้งสามเข้ากับจุดกำเนิด และมีขนาดสัมพันธ์แบบกลับกันกับความสูงของรูปทรงปิรามิดที่ผ่านจุดกำเนิดและมีพิกัดทั้ง3คือจุดยอด"