สูตรที่อาจไม่เคยเจอในตำราไหนมาก่อนในวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

[tngngoapm]

สมมติถ้าเราทราบพิกัดของรูปสามเหลี่ยมในระนาบพิกัดฉาก$XY$ คือจุด $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$
1.สูตรที่ใช้หาพิกัด$(x,y)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของรูปวงกลมแนบในสามเหลี่ยมคือ
$x=\frac{S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}} $
$y=\frac{S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}} $
เมื่อ $S_{1}=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}} $
$S_{2}=\sqrt{(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}} $
$S_{3}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} $
2.สูตรที่ใช้หาพิกัด$(x,y)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของรูปวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมคือ
$x= \frac{\frac{1}{2}\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1} },y=\frac{\frac{1}{2}\vmatrix{x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2} &1 \\x_{2}& x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & 1\\ x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1} } $
เมื่อ $\vmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i} $=ดิเทอมิแนนท์ของเมตริกซ์$\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i} $

[tngngoapm]

วิธีการใช้สูตรก็ง่ายมากครับแต่อาจจะยุ่งยากตรงการคำนวณติดรากและการใช้เมตริกซ์เข้ามาเกี่ยวข้อง แต่โดยรวมน่าจะใช้เวลาคิดน้อยกว่าการใช้conceptของเรขาคณิตวิเคราะห์ อย่างเช่น ถ้ากำหนดสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด 3 จุด คือ $(3,2),(1,4)$และ $(5,4)$ แล้วให้คำนวณหา
$1.$จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน(Incenter) สามารถหาได้ดังนี้
ก่อนอื่นกำหนดจุด $(x_{1},y_{1})=(3,2)........(x_{2},y_{2})=(1,4).........(x_{3},y_{3})=(5,4)$
หรืออาจจะกำหนดสลับกันต่างไปจากนี้ก็ได้ครับ แล้วแต่สะดวกครับ คำนวณหา
$S_{1}=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}$
$S_{1}=\sqrt{(1-5)^{2}+(4-4)^{2}}$
$S_{1}=\sqrt{16}$
$S_{1}=4$
ต่อไป..........หา $S_{2},S_{3}$ ทำเหมือนกัน
$S_{2}=\sqrt{(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}}$
$S_{2}=\sqrt{(3-5)^{2}+(2-4)^{2}}$
$S_{2}=\sqrt{4+4}$
$S_{2}=\sqrt{8}$
$S_{2}=2\sqrt{2}$
..............................................................................
$S_{3}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$
$S_{3}=\sqrt{(3-1)^{2}+(2-4)^{2}}$
$S_{3}=\sqrt{4+4}$
$S_{3}=\sqrt{8}$
$S_{3}=2\sqrt{2}$
ต่อไป.......หาพิกัด $(x,y)$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในตามสูตรนี้ครับ
$x=\frac{S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}}$
$x=\frac{(4)(3)+(2\sqrt{2})(1)+(2\sqrt{2})(5) }{4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}} $
$x=\frac{12+12\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$
$x=\frac{12(1+\sqrt{2}) }{4(1+\sqrt{2} } $
$x=3 $
......................................................................................
$y=\frac{S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}}$
$y=\frac{(4)(2)+(2\sqrt{2})(4)+(2\sqrt{2})(4) }{4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}}$
$y=\frac{8+16\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$
$y=\frac{8(1+2\sqrt{2}) }{4(1+\sqrt{2} }$
$y=6-2\sqrt{2}$
สรุปว่าจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน(Incenter)=$(3,6-2\sqrt{2})$หรือ$(3,3.17)$
___________________________________________________________________-
$2.$ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม (Circumcenter)หาได้โดยการใช้หลักการหาจุดกึ่งกลางด้านแล้วหาสมการเส้นตั้งฉากซึ่งต้องเข้าใจconceptของวิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์ คือถ้าคนเข้าใจก็สร้างสมการมาหาจุดตัดไม่น่าจะยากเย็นอะไร แต่คนไม่เข้าใจก็คงจะสงสัยสรุปคือหาไม่ได้ไม่เข้าใจหลักการ ทางเลือกของคนไม่เข้าใจ ผมก็อยากนำเสนอสูตรดังนี้ครับ ก่อนอื่นกำหนดจุด $(x_{1},y_{1})=(3,2)........(x_{2},y_{2})=(1,4).........(x_{3},y_{3})=(5,4)$ เหมือนเดิม
หาค่า $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=3^{2}+2^{2}=13$
$x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1^{2}+4^{2}=17$
$x_{3}^{2}+y_{3}^{2}=5^{2}+4^{2}=41$
ต่อไป.......หาพิกัด $(x,y)$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมตามสูตรนี้ครับ
$x= \frac{1}{2} \frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$
$x= \frac{1}{2} \frac{\vmatrix{13 & 2&1 \\ 17 & 4 & 1\\ 41 &4& 1}}{\vmatrix{ 3& 2&1 \\ 1& 4&1\\ 5& 4&1}} $
$x=\frac{1}{2} [\frac{52+82+68-164-52-34}{12+10+4-20-12-2} ]$
$x=\frac{1}{2}[ \frac{-48}{-8}]$
$x=3$
...........................................................................................
$ y=\frac{1}{2}\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2} &1 \\x_{2}& x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & 1\\ x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}} $
$y=\frac{1}{2} \frac{\vmatrix{3&13 &1 \\1& 17 & 1\\ 5&41 & 1}}{\vmatrix{ 3& 2&1 \\ 1&4&1\\5&4&1}} $
$y=\frac{1}{2} [\frac{51+65+41-85-123-13}{12+10+4-20-12-2}] $
$y=\frac{1}{2}[ \frac{-64}{-8}]$
$y=4$
สรุปว่าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ(Circumcenter)=$(3,4)$
แล้วผมจะนำเสนอสูตรหาจุดตัดกันของส่วนสูงของสามเหลี่ยม(Orthocenter)ต่อไปครับ......อย่าเพิ่งเบื่อกันก่อนนะครับ

[tngngoapm]

สูตรหาจุด Orthocenter(จุดตัดกันของส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม) ใช้แค่การแทนค่าและการหาค่าดิเทอมิแนนท์(Determinant)ของเมตริกซ์เป็น
$x= (-1) \frac{\vmatrix{x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$
.............................................................................................................
$ y=(-1)\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} &1 \\x_{2}&x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & 1\\ x_{3}&x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}} $
เมื่อ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ และ $(x_{3},y_{3})$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดฉาก $XY$

[tngngoapm]

"เขามีจดลิขสิทธิ์สูตรทางคณิตศาสตร์ไหมครับ......ถ้ามีผมจะไปจดและ"
สรุปว่าในเรขาคณิตแบบยุคลิค(Euclidean geometry)
ถ้าเรารู้จุดยอด(vertex)ของรูปสามเหลี่ยม $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ และ $(x_{3},y_{3})$
สูตรหาจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม(Circumcenter)คือ
$(x,y)=(\frac{1}{2} \frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}},\frac{1}{2}\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2} &1 \\x_{2}& x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & 1\\ x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}} )$
.................................................................................................................
สูตรหาจุดตัดกันของส่วนสูงของสามเหลี่ยม (Orthocenter)คือ
$(x,y)=(- \frac{\vmatrix{x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}},-\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} &1 \\x_{2}&x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & 1\\ x_{3}&x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}) $
"คราวนี้ลองคิดเล่นๆต่อโดยลากเส้นตรงเชื่อมจุดทั้งสอง(Orthocenter)และ(Circumcenter)แล้วหาพิกัด$(x',y')$ซึ่งเป็นจุดที่อยู่ระหว่างจุดทั้งสองเป็นอัตราส่วน $2:1$ โดยอยู่ใกล้จุดCircumcenterมากกว่า"
$x'=\frac{2X_{(circumcenter)}+X_{(orthocenter)}}{2+1} $
$x'=\frac{2X_{(circumcenter)}+X_{(orthocenter)}}{3} $
$x'=\frac{1}{3} [(2)(\frac{1}{2} )\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}-\frac{\vmatrix{x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}]$
$x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}x_{3}-y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{1}x_{3}-y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$
แล้วใช้สมบัติของDeterminantของเมตริกซ์ในเรื่องการดำเนินการเชิงหลักเชิงแถว มาดัดแปลงค่าเดทให้ดูง่ายขึ้นดังนี้
ขั้นที่1นำ $-y_{1}$ ไปคูณหลักที่2$[C_{2}]$แล้วบวกด้วยหลักที่1$[C_{1}].........[-y_{1}C_{2}+C_{1}]$
ขั้นที่2นำ $-y_{2}$ ไปคูณหลักที่2$[C_{2}]$แล้วบวกด้วยหลักที่1$[C_{1}].........[-y_{2}C_{2}+C_{1}]$
ขั้นที่3นำ $-y_{3}$ ไปคูณหลักที่2$[C_{2}]$แล้วบวกด้วยหลักที่1$[C_{1}].........[-y_{3}C_{2}+C_{1}]$ สรุปจะได้
$x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}-x_{2}x_{3}-y_{1}y_{2}-y_{2}y_{3}-y_{3}y_{1} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}-y_{1}y_{2}-y_{2}y_{3}-y_{3}y_{1} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-y_{2}y_{3}-y_{3}y_{1} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$
$x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}-x_{2}x_{3} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}&y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}-x_{1}x_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}.................[(y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{3}y_{1})C_{3}+C_{1}]$
$x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}&y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}.................[(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})C_{3}+C_{1}]$
$x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}(x_{1}+x_{2}+x_{3}) & y_{1}&1 \\ x_{2}(x_{1}+x_{2}+x_{3})&y_{2} & 1\\ x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}) & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$
$x'=\frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})[\frac{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$
$ x'=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$
ค่า $y'$ก็หาแบบเดียวกัน จะได้ $ y'=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$
สรุปจุดพิกัด $(x',y')=(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$...ซึ่งก็คือจุดCentroid....สอดคล้องกับทฤษฎีของEuler lineครับ

[nooonuii]

มันคงเป็นสูตรที่หาได้ทั่วไปใน coordinate geometry นั่นแหละครับ

เพียงแต่ว่าเมืองไทยเราไม่สอนเรื่องพวกนี้เท่าไหร่ก็เลยอาจจะดูเป็นของใหม่สำหรับบางคน

ลองดูตัวอย่างของ incenter ที่มีคนคิดไว้เหมือนของคุณเป๊ะ

http://www.mathopenref.com/coordincenter.html

แต่ก็ดีนะครับ การค้นพบความรู้เหล่านี้ด้วยตัวเองเป็นสิ่งที่น่าชื่นชม

[tngngoapm]

ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

ถ้าเราทราบพิกัดของรูปปิระมิดฐานสามเหลี่ยมในระนาบพิกัดฉาก3มิติ$XYZ$
คือจุด $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},z_{3})และ(x_4,y_4,z_4)ตามลำดับ$
...สูตรที่ใช้หาพิกัด$(x,y,z)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมแนบในปิระมิดสามเหลี่ยมนี้คือ
$x=\frac{A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+A_{3}x_{3}+A_4x_4}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_4} $
$y=\frac{A_{1}y_{1}+A_{2}y_{2}+A_{3}y_{3}+A_4y_4}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_4} $
$z=\frac{A_1z_1+A_2z_2+A_3z_3+A_4z_4}{A_1+A_2+A_3+A_4}$
เมื่อ $A_{1}คือพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_1,y_1,z_1)$
$A_{2}คือพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_2,y_2,z_2)$
$A_{3}คือพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_3,y_3,z_3)$
และ$A_{4}คือพื้นที่ผิวของส่มเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_4,y_4,z_4)$

[tngngoapm]

...เช่น...สามเหลี่ยมที่มีพิกัด..(1,2,3),(2,1,4)และ(3,4,2)
...สามารถหาพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ได้ดังนี้
...สร้างเมตริกซ์เวกเตอร์ของพิกัดทั้งสาม
$$A=\bmatrix{1&2&3\\2&1&4\\3&4&2}$$
...หาเมตริกซ์ของพื้นผิว...$adj.(A)$
$$adj.(A)=\bmatrix{-14&8&5\\8&-7&2\\5&2&-3}$$
..หาเมตริกซ์เวกเตอร์ระนาบโดยนำสมาชิกของ$adj.(A)$ในแต่ละแถวมารวมกัน..
$$A_i=\bmatrix{(-14)+8+5\\8+(-7)+2\\5+2+(-3)}=\bmatrix{(-1)\\3\\4}$$
...หาขนาดของเมตริกซ์เวกเตอร์ระนาบ$A_i$...
$$|A_i|=[(-1)^2+3^2+4^2]^{(1/2)}=26^{(1/2)}$$
...จะได้พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ$(1/2)\sqrt{26}$

[tngngoapm]

...เช่นถ้าต้องการหาปิระมิดที่มีพิกัดของฐานสามเหลี่ยม $(1,2,3),(2,1,4)และ(3,4,2)$
และมีจุดยอดที่ $(0,0,0)$
...จะมีปริมาตร$(V)$เท่ากับหนึ่งในหกของค่าสมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์เวกเตอร์ของพิกัดฐานของปิระมิด...
$$V=(1/6)[|det(\bmatrix{1&2&3\\2&1&4\\3&4&2})|]$$

...ซึ่งจะได้ปริมาตรของปิระมิดเท่ากับ..$17/6$

[tngngoapm]

..และถ้าต้องการหาปริมาตรของปิระมิดสามเหลี่ยมเมื่อทราบพิกัดของจุดยอดทั้ง4คือ $(1,2,3),(2,1,4),(3,4,2)$และ$(4,3,1)$อาจจะต้องพึ่งความรู้ของเมตริกซ์4มิติ
...หรือจะมีปริมาตร$(V)$เท่ากับหนึ่งในหกของค่าสมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์แบบ4มิติ...
คือถ้าให้...
$$B=\bmatrix{1&2&3&1\\2&1&4&1\\3&4&2&1\\4&3&1&1}$$
จะหาปริมาตร$(V)$ได้คือ...
$$V=(1/6)|det(B)|$$

...หรือปิระมิดรูปนี้จะมีปริมาตรเท่ากับ...$(1/6)(8)$

แต่ถ้าใครเข้าใจการแปลงพิกัดแบบเวกเตอร์อาจจะกลับไปใช้เมตริกซ์เวกเตอร์แบบ3มิติได้ครับ

[tngngoapm]

เช่นถ้ากำหนดจุด3จุดบนระนาบคือ...(2,2),(2,3)และ(3,4)
นำพิกัดทั้งสามมาเรียงแบบเมตริกซ์3มิติคือ...
$$A=\bmatrix{2&2&1\\2&3&1\\3&4&1}$$
...นำเมตริกซ์$A$มาหาadjoint..[adj(A)]จะได้...
$$adj.(A)=\bmatrix{-1&2&-1\\1&-1&0\\-1&-2&2}$$
...หรือสมการเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสามคือสมาชิกในแต่ละหลักของเมตริกซ์$adj.(A)$ดังนี้...
...หลักที่1...$(-1)x+(1)y+(-1)=0$
...หลักที่2...$(2)x+(-1)y+(-2)=0$
และหลักที่3...$(-1)x+(0)y+(2)=0$
...หรือสมการทั้งสามเส้นคือ...
$x-y+1=0,2x-y-2=0และx-2=0$

[tngngoapm]

...เช่นสมการเส้นตรง...
$x-y+1=0,2x-y-2=0และx-2=0$
สามารถหาจุดตัดทั้งหมดของเส้นตรงทั้ง3ได้ดังนี้

...นำสัมประสิทธิ์ของเส้นตรงทั้งสามมาเรียงกันตามคอลัมน์เแบบเมทริกซ์3มิติดังนี้
$$A=\bmatrix{1&2&1\\-1&-1&0\\1&-2&-2}$$
...ต่อด้วยการหาแอดจอยน์ของเมทริกซ์A...
$$adj.(A)=\bmatrix{2&2&1\\-2&-3&-1\\3&4&1}$$
...หลังจากนั้นพิจารณาหลักที่3ของadj.(A)ทำให้สมาชิกเป็น1ให้หมด
...จะได้
$$\bmatrix{2&2&1\\(-2)/(-1)&(-3)/(-1)&(-1)/(-1)\\3&4&1}$$

หรือได้...
$$B=\bmatrix{2&2&1\\2&3&1\\3&4&1}$$
..จะได้จุดตัดทั้ง3จุดคือสมาชิกในแต่ละแถวของเมทริกซ์$B$คือ..
$(2,2),(2,3)และ(3,4)$

[tngngoapm]

...เช่นถ้ากำหนดจุด3จุดบนระนาบคือ...$(2,2),(2,3)และ(3,4)$
นำพิกัดทั้งสามมาเรียงแบบเมตริกซ์3มิติคือ...
$$A=\bmatrix{2&2&1\\2&3&1\\3&4&1}$$

...หาเมตริกซ์อินเวอร์สของ$A$..
$$A^{-1}=\bmatrix{1&-2&1\\-1&1&0\\1&2&-2}$$

พิจารณาสมาชิกในแต่ละหลักเฉพาะ2แถวแรกคือ...
...หลักที่1...$1,-1$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1\\-1}...หาขนาดได้\sqrt{2}$
...หลักที่2...$-2,1$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{-2\\1}...หาขนาดได้\sqrt{5}$
...หลักที่3...$1,0$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1\\0}...หาขนาดได้1$

...ขนาดของเมตริกซ์เวกเตอร์ในแต่ละหลักคือส่วนกลับของความสูงของสามเหลี่ยม
...หรือสรุปส่วนสูงทั้ง3ของสามเหลี่ยมคือ..$1/\sqrt{2}..,1/\sqrt{5}..และ1$

[tngngoapm]

...เช่นปิรมิดที่มีจุดยอด4จุดในพิกัด3มิติคือ...$(1,2,3),(2,1,4),(3,4,2)และ(4,3,1)$
นำพิกัดทั้งสี่มาเรียงแบบเมตริกซ์คือ...
$$A=\bmatrix{1&2&3&1\\2&1&4&1\\3&4&2&1\\4&3&1&1}$$

...หาเมตริกซ์อินเวอร์สของ$A$..
$$A^{-1}=\bmatrix{-5/8&3/8&1/8&1/8\\-1/8&-1/8&5/8&-3/8\\-4/8&4/8&4/8&-4/8\\27/8&-13/8&-23/8&17/8}$$

พิจารณาสมาชิกในแต่ละหลักเฉพาะ3แถวแรกคือ...
...หลักที่1...$-5/8,-1/8,-4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{-5/8\\-1/8\\-4/8}...หาขนาดได้\sqrt{42}/8$
...หลักที่2...$3/8,-1/8,4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{3/8\\-1/8\\4/8}...หาขนาดได้\sqrt{26}/8$
...หลักที่3...$1/8,5/8,4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1/8\\5/8\\4/8}...หาขนาดได้\sqrt{42}/8$
...หลักที่4...$1/8,-3/8,-4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1/8\\-3/8\\-4/8}...หาขนาดได้\sqrt{26}/8$

...ขนาดของเมตริกซ์เวกเตอร์ในแต่ละหลักคือส่วนกลับของความสูงของสามเหลี่ยม
...หรือสรุปส่วนสูงทั้ง4ของปิระมิดสามเหลี่ยมคือ..$8/\sqrt{42},8/\sqrt{26},8/\sqrt{42},8/\sqrt{26}$

[tngngoapm]

...เช่น จุด$A(1,2,3),B(2,3,4)และC(3,4,5)$
จุดทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่?
...นำพิกัดของทั้ง3จุดมาเข้ารูปแบบเมตริกซ์คือ..
$$\bmatrix{1&2&3\\2&3&4\\3&4&5}$$
...นำเมตริกซ์ดังกล่าวมาหาค่าดิเทอมิแนนท์
...จะสรุปได้หรือไม่เมื่อ
$$\vmatrix{1&2&3\\2&3&4\\3&4&5}=0$$
...จุดทั้งสามจึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน