IJSO 5th รอบ 2

[TS_SME]

จะพยายามคิดดู

[The Got_SME]

ผมคิดไม่ค่อยออกเลย

[mathematiiez]

อื้ม คิดไม่ค่อยออกเหใือนกัน >,< แต่จะพยายามฝึกวรยุทธต่อไป !!

[butare]

ข้อ 1 ถ้าใช้กฎของโคไซน์ ม.ปลายน่าจะออก
แต่มันเป็นข้อสอบเด็กม.ต้นเลยไม่แน่ใจ

[butare]

อ่านโจทย์แล้วงงมากครับ

[butare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ข้อ 6 ผมคิดว่าวิธีที่ simple ที่สุดสำหรับเด็ก ม.ต้น น่าจะเป็นการเปลี่ยนฟังก์ชันที่ให้มาให้อยู่ในรูป $ \tan \theta $ ครับ แล้ว minimize จากฟังก์ชันของ tan

วิธีที่ว่านี้ทำยังไงครับผลลองจัดดูแล้วมันไม่ได้รูป tan

[passer-by]

สำหรับข้อ 6 ที่ถามมาครับ

$ \begin{array}{rcl} \sec^2 \theta + 2cosec^2 \theta &=& (1+\tan^2 \theta)+2(1+\cot^2 \theta) \\ &=& (1+\tan^2 \theta)+2(1+\frac{1}{\tan^2 \theta}) \\ &=& 3+(\tan^2 \theta + \frac{2}{\tan^2 \theta}) \\ & \geq & 3+ 2\sqrt{2}\end{array}$
(ค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ $ \tan \theta= \sqrt{\sqrt{2}}$ )

เหตุผลที่ $ \tan^2 \theta + \frac{2}{\tan^2 \theta} \geq 2\sqrt{2} $ อธิบายได้ 2 แบบครับ

แบบที่ 1 : สำหรับคนที่สนใจข้อสอบโอลิมปิก ก็จะตอบได้อย่างรวดเร็วว่า เป็นผลมาจาก AM-GM inequality

แบบที 2 : สมมติว่า $ y= x+ \frac{2}{x} $ โดยที่ $ x >0 $ ดังนั้น $ x^2 -yx+2 =0 $
x จะเป็นจำนวนจริงเมื่อ $ y^2-4(1)(2) \geq 0 \Rightarrow y \geq 2\sqrt{2} $ หรือที่เราเรียกกันว่าพิจารณาค่า discriminant ครับ (น่าจะได้เรียนแล้วในเรื่องสมการกำลังสอง)

[butare]

ขอบคุณมากครับ

[butare]

เฉลยข้อ 1 รุปวาดไม่ค่อยสวยขอโทษด้วยครับ
ตอนนี้ยังติดข้อ 4 ข้อ 8 และ 10 อยุ่ใครพอได้ช่วยเฉลยหน่อยครับ

[jabza]

ขอตอบข้อ8ก่อน$ a=\frac{1}{4} พาราโบล่ามีจุดยอด x=\frac{-b}{2a} $,$y=\frac{4ac-b^2}{4a} $แทนในสมการ y=x+1 จะได้ $\frac{4ac-b^2}{4a } =\frac{-b}{2a} +1$ จะได้$4ac=b^2-2b+4a$, อีกสมการ หาจาก $ b^2-4ac=0,จะได้(b-1)^2 =4ac$,$\therefore b^2-2b+4a =(b-1)^2 จะได4a =1,a=\frac{1}{4} $ ข้อ4ตอบ$\frac{243}{12} (3.14)$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ข้อ4ตอบ$\frac{243}{12} (3.14)$

ผมได้ $\frac{63}{2} \pi $ ครับ

[jabza]

ผมขอขอบคุณพี่หยินหยางที่ให้คำตอบที่ถูก. แต่ผมยังได้คำตอบโหม่=$\frac{47}{2} (3.14) ปล. รัศมีปากแก้วเท่าไหร่ครับ. สูงผมหาได้=12ซม.รัศมีปากแก้ว=4ซม. $ ?

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมได้ $\frac{63}{2} \pi $ ครับ

ผมได้คำตอบเท่ากันกับคุณ หยินหยางครับ

และข้อ.10 แนวคิด ให้ระยะห่างระหว่างรถบรรทุกเป็น P และอัตราเร็วของรถบรรทุกเป็น V

และเริ่มพบคันแรกตอนออกจากเมืองเลย มี 56และ60 ช่วงตามลำดับ (คล้ายๆกับการนับหลัก)

ดังนั้นระยะห่างระหว่างรถบรรทุกเป็น P = 2.5 กิโลเมตร

จะได้อัตราเร็วของรถบรรทุกเป็น V = 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ชอบแบบใหนก็ตอบแบบนั้น **

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ผมขอขอบคุณพี่หยินหยางที่ให้คำตอบที่ถูก. แต่ผมยังได้คำตอบโหม่=$\frac{47}{2} (3.14) ปล. รัศมีปากแก้วเท่าไหร่ครับ. สูงผมหาได้=12ซม.รัศมีปากแก้ว=4ซม. $ ตัวphi ผมหาไม่เจอ?

ลองดูรูปนี้ซิครับ

ปริมาตรกรวย = $ \dfrac {1}{3} \pi r^2h$ = $ \dfrac {1}{3} \pi (3\sqrt{2} )^2(12)$ = $72 \pi $
ปริมาตรทรงกลมใหญ่ = $ \dfrac {4}{3} \pi (3)^3$ = $36 \pi $
ปริมาตรทรงกลมเล็ก = $ \dfrac {4}{3} \pi (1.5)^3$ = $4.5 \pi $
ปริมาตรน้ำที่ต้องเติม = $72 \pi $ - $36 \pi $ - $4.5 \pi $ = $31.5 \pi $ หรือ $\dfrac {63}{2} \pi $

[jabza]

ขอขอบคุณพี่Puriwatt ผมเข้าใจแจ่มแจ้งมาก. ผมต้องฝึกอีกมากเตรียมไปสอบเพชรยอดมงกุฏในสัปดาห์หน้า.