IWYMIC 2001

[math ninja]

บุคคล http://www.taimc2012.org/problem/200...Individual.pdf
ทีม http://www.taimc2012.org/problem/2001-IWYMIC-Team.pdf
มาช่วยกันเฉลย

[ATEKROW]

แม้ว่าจะดูเก่า แต่บางข้อก็ค่อนข้างยากเหมือนกันนะครับนี่...
แต่บางข้อเป็นแบบฝึกในค่ายประถมก็มีนะครับ

[Suwiwat B]

1. หา n ทั้งหมดที่ทำให้ $1+2+...+n$ เป็นตัวเลข 3 หลักที่เป็นเลขโดดเดียวกัน
มี 9 กรณี 111 ถึง 999 ไล่ไปให้ครบ จะได้ว่าเป็น $\frac{n(n+1)}{2} = 666$ เท่านั้น เพราะจะได้ว่า $n=36$ จำนวนเดียว

7. หาจำนวนเฉพาะ p ที่ทำให้มีจำนวนเต็ม x,y ที่ทำให้
$p+1 = 2x^2$ เเละ $p^2 + 1=2y^2$

สมมติว่า x,y เป็นจำนวนเต็มบวก เเละเห็นได้ชัดว่า p เป็นจำนวนคี่ จับสมการมาลบกัน
$$p(p-1) = 2(y-x)(y+x) $$
p เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น p หาร 2 ไม่ลงเเน่ๆ เเบ่งเป็น 2 กรณี
ถ้า p หาร y-x จะได้ $p \leqslant y-x$ ทำให้ $p-1 \geqslant 2y+2x$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $p \leqslant y+x$ เเละ $p-1 \geqslant 2(y-x)$ ทำให้ได้ว่า $p+1 \leqslant 4x$ เเต่จากโจทย์ทำให้ได้ว่า
$2x^2 \leqslant 4x$ จะได้ว่า $x\leqslant 2$
ถ้า $x=1$ จะได้ $p=1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้า $x=2$ จะได้ $p=7$ เป็นจำนวนเฉพาะ

[Suwiwat B]

9. หาค่า $\sqrt{12-\sqrt{24}+\sqrt{39}-\sqrt{104}} - \sqrt{12+\sqrt{24}+\sqrt{39}+\sqrt{104}}$

ให้ $a = \sqrt{12-\sqrt{24}+\sqrt{39}-\sqrt{104}} - \sqrt{12+\sqrt{24}+\sqrt{39}+\sqrt{104}}$ จะได้

$$a^2 = 24 + 2\sqrt{39} - 2\sqrt{(12+\sqrt{39})^2 - (\sqrt{24}+\sqrt{104})^2}$$
$$a^2 = 24 + 2\sqrt{39} - 2\sqrt{55+2\sqrt{624}}$$
$$a^2 = 24 + 2\sqrt{39} - 2\sqrt{(\sqrt{39}+4)^2}$$
$$a^2 = 24 + 2\sqrt{39} - 2(\sqrt{39}+4)$$
$$a^2 = 24 + 2\sqrt{39} - 2\sqrt{39} - 8$$
$$a^2 = 24 - 8 =16$$
$$a = 4,-4$$

เเต่ $\sqrt{12-\sqrt{24}+\sqrt{39}-\sqrt{104}} < \sqrt{12+\sqrt{24}+\sqrt{39}+\sqrt{104}}$ ทำให้ $a<0$ นั่นคือ $a=-4$

[Suwiwat B]

section B ข้อที่ 1
ให้ a,b เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เท่ากัน $A = \frac{a+b}{2} , G = \sqrt{ab}$ จงเเสดงว่า $G < \frac{(a-b)^2}{8(A_G)} < A$

$$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 4(A+G)(A-G)$$
$$\therefore \frac{(a-b)^2}{8(A_G)} = \frac{4(A+G)(A-G)}{8(A-G)} = \frac{A+G}{2}$$

ทำให้ได้ว่า $G < \frac{A+G}{2} < A$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ จาก $a\not= b$ ทำให้ $A\not= B $

[Suwiwat B]

ข้อ 6 ประเภททีม
หมุนสามเหลี่ยม ABP ให้ด้าน AB ทับด้าน AC จุด P กลายเป็นจุด P' ลากเส้น PP' จะพบว่าสามเหลี่ยม APP' เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ได้ว่าด้าน PP' = 4 เเล้วส่งผลให้สามเหลี่ยม PP'C เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ทำให้มุม AP'C มีค่า 150 องศา ทำให้

$$AC^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2(4)(4\sqrt{3})cos150\circ = 112$$

พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC = \frac{\sqrt{3}}{4}AC^2 = 28\sqrt{3}$

[ATEKROW]

ขอร่วมเฉลยด้วยคนครับ..
ข้อสอง ประเภทเดี่ยว ตามรูปครับผม
ลาก CE แล้วแบ่งเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ได้ CE=4 ครับ
จะได้พื้นที่คือ $7 \sqrt{3} $ ครับผม

[Suwiwat B]

8. จงหารากจริงของสมการ
$$\sqrt{3x^2-18x+52} + \sqrt{2x^2-12x+162} = \sqrt{-x^2+6x+280}$$
ให้ $-x^2 +6x = A$ จะได้ $\sqrt{-3A+52} + \sqrt{-2A+162} = \sqrt{A+280}$
ทำให้เห็นว่า $-3A+52\geqslant 0$ เเละ $-2A+162\geqslant 0$ เเละ $A+280\geqslant 0$ นั่นคือ $-280\leqslant A\leqslant \frac{52}{3}$
$$\sqrt{-3A+52} + \sqrt{-2A+162} = \sqrt{A+280}$$
$$\sqrt{-2A+162}=\sqrt{A+280}-\sqrt{-3A+52} $$
$$-2A+162=A+280-3A+52-2\sqrt{A+280}\sqrt{-3A+52} $$
$$(A+280)(-3A+52)=7225$$
$$3A^2+788A-7335=0$$
$$A=9,-\frac{815}{3}$$
นำไปตรวจคำตอบจะได้เเค่ $A=9$
$$-x^2 + 6x = 9$$
$$x=3$$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

8. จงหารากจริงของสมการ
$$\sqrt{3x^2-18x+52} + \sqrt{2x^2-12x+162} = \sqrt{-x^2+6x+280}$$
ให้ $-x^2 +6x = A$ จะได้ $\sqrt{-3A+52} + \sqrt{-2A+162} = \sqrt{A+280}$
ทำให้เห็นว่า $-3A+52\geqslant 0$ เเละ $-2A+162\geqslant 0$ เเละ $A+280\geqslant 0$ นั่นคือ $-280\leqslant A\leqslant \frac{52}{3}$

โหดมากครับ.

อีกวิธีหนึ่งคือ

ให้ $A = \sqrt{3x^2-18x+52} = \sqrt{3(x-3)^2 + 25}$

และ $B = \sqrt{2x^2-12x+162} = \sqrt{2(x-3)^2+144}$

และ $C = \sqrt{-x^2+6x+280} = \sqrt{-(x-3)^2+289}$

จะเห็นว่า $A \ge 5, B \ge 12, C \le 17$ แสดงว่า $A + B \ge 17$

ดังนั้นสมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $A = 5$ และ $B = 12$ และ $C = 17$ เท่านั้น

ซึ่งจะเกิดเมื่อ $x = 3$

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

โหดมากครับ.

อีกวิธีหนึ่งคือ

ให้ $A = \sqrt{3x^2-18x+52} = \sqrt{3(x-3)^2 + 25}$

และ $B = \sqrt{2x^2-12x+162} = \sqrt{2(x-3)^2+144}$

และ $C = \sqrt{-x^2+6x+280} = \sqrt{-(x-3)^2+289}$

จะเห็นว่า $A \ge 5, B \ge 12, C \le 17$ แสดงว่า $A + B \ge 17$

ดังนั้นสมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $A = 5$ และ $B = 12$ และ $C = 17$ เท่านั้น

ซึ่งจะเกิดเมื่อ $x = 3$

ผมก็พยายามหาๆอยู่ว่ามันน่าจะมีอะไรเเบบนี้เกิดขึ้น .. เเต่ผมมองไม่ออก .. จัดยกกำลังสองไปเลย
ข้อ 2 section B ไม่ค่อยมั่นใจนะครับ

จาก $3^{2x} - 3\times 3^x = p$
จะได้ $3^x = \frac{3\pm \sqrt{9+4p}}{2}$
เพื่อให้ได้ x ที่เป็นจำนวนจริงบวกที่เเตกต่างกัน คือ $x>0$ นั่นคือ $3^x > 1$
ทำให้ได้ว่า $9+4p>0$ (ถ้าเป็น 0 จะได้ x ที่เหมือนกัน) เเละ $\frac{3+ \sqrt{9+4p}}{2}>1$ เเละ $\frac{3 - \sqrt{9+4p}}{2}>1$
$p>-\frac{9}{4}$ เเละ $3 - \sqrt{9+4p}>2$
$p>-\frac{9}{4}$ เเละ $p<-2$
ทำให้ได้ว่า $-\frac{9}{4}<p<-2$

[Suwiwat B]

ข้อ 6. เดี่ยว
วาดรูปเเล้วจะเห็นได้ว่าถ้าสมมติให้ $BD=a , CE=a+1 , AF = a+2$ จะได้ว่า $BF=a , DC=a+1 , AE=a+2$
จาก $พื้นที่สามเหลี่ยม = rs$ โดย $s = \frac{2a+1+2a+2+2a+3}{2} = 3a+3$
$$\sqrt{(3a+3)(a)(a+1)(a+2)} = 4(3a+3)$$

$$a(a+1)(a+2)(3)(a+1) = 16(9)(a+1)^2$$

เเต่ $a+1 \not= 0$

$$a(a+2) = 48$$
$a$ เป็นจำนวนเต็ม เห็นได้ว่า $a=6$
ดังนั้นด้านของสามเหลี่ยมคือ $ 2a+1,2a+2,2a+3$ คือ $13,14,15 $

[Thamma]

ข้อ 10. มีวิธีงดงามในการหาคำตอบข้อนี้ไหมคะ

ข้อ 3. กรุณาแนะนำวิธีพิสูจน์ด้วยนะคะ

ขอบคุณมากค่ะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

ข้อ 10. มีวิธีงดงามในการหาคำตอบข้อนี้ไหมคะ

ข้อ 3. กรุณาแนะนำวิธีพิสูจน์ด้วยนะคะ

ขอบคุณมากค่ะ

ข้อ 10 ยังหาวิธีสวย ๆ ไม่ได้เลยครับ.

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

ขอบคุณทีช่วยตอบคำถามนะคะ

แนะนำวิธีไม่ค่อยสวยก็ได้ค่ะ

solutionแบบป่าเถื่อน

ขั้นที่ 1 จะแสดงว่า N = 1001001001001 หารด้วย 31 ลงตัว

เนื่องจาก $10^3 \equiv 8 \mod 31$

ดังนั้น $10^6 = (10^3)^2 \equiv 8^2 \mod 31 \equiv 2 \mod 31$

และจะได้ $10^9 \equiv 16 \mod 31$

และ $10^{12} \equiv 4 \mod 31$

ดังนั้น $10^{12} + 10^9 + 10^6 + 10^3 + 1 \equiv 4+16+2+8+1 \mod 31 \equiv 0 \mod 31$

นั่นคือ 1001001001001 หารด้วย 31 ลงตัว

ขั้นที่ 2. $M = 10^{2k-2} + 10^{2k-4} + ... + 10^2 + 1$

ถ้า M หารด้วย N ลงตัว แสดงว่า $M \ge N$ ดังนั้น $2k - 2 \ge 12 \Rightarrow k \ge 7$

(ถ้า k = 7 เห็นชัดว่าเป็นไปไม่ได้ เพราะต้องเท่ากันพอดี)

เนื่องจาก M หารด้วย N ลงตัว แสดงว่า M ต้องหารด้วย 31 ลงตัวด้วย

คำนวณเขียนค่าต่อไปนี้เอาไว้

$10^0 \equiv 1 \mod 31$

$10^1 \equiv 10 \mod 31$

$10^2 \equiv 7 \mod 31$

$10^3 \equiv 8 \mod 31$

$10^4 \equiv 18 \mod 31$

$10^5 \equiv 25 \mod 31$

$10^6 \equiv 2 \mod 31$

$10^7 \equiv 20 \mod 31$

$10^8 \equiv 14 \mod 31$

$10^9 \equiv 16 \mod 31$

$10^{10} \equiv 5 \mod 31$

$10^{11} \equiv 19 \mod 31$

$10^{12} \equiv 4 \mod 31$

$10^{13} \equiv 9 \mod 31$

$10^{14} \equiv 28 \mod 31$

$10^{15} \equiv 1 \mod 31$

$10^{16} \equiv 10 \mod 31$ เริ่มวนซ้ำ

กรณีที่ 1. k = 8

$M = 10^{14} + 10^{12} + 10^{10} + 10^{8} + 10^{6} + 10^{4} + 10^{2} + 1 \equiv (28+4+5+14+2+18+7+1)\mod 31 \equiv 17 \mod 31$

กรณีที่ 2. k = 9

$M = 10^{16} + 10^{14} + ... + 1 \equiv 10+17 \mod 31 \equiv 27 \mod 31$

ทำนองเดียวกัน

กรณีที่ 3. k = 10

$M \equiv 8 + 27 \equiv 4 \mod 31$

กรณีที่ 4. k = 11

$M \equiv 25 + 4 \equiv 29 \mod 31$

กรณีที่ 5. k = 12

$M \equiv 20 + 29 \equiv 18 \mod 31$

กรณีที่ 6. k = 13

$M \equiv 16 + 18 \equiv 3 \mod 31$

กรณีที่ 7. k = 14

$M \equiv 19 + 3 \equiv 22 \mod 31$

กรณีที่ 8. k = 15

$M \equiv 9 + 22 \equiv 0 \mod 31$

นั่นคือ k น้อยสุดที่หารด้วย 31 ลงตัวคือ k = 15

และนอกจากนี้ เนื่องจาก $M = \frac{10^{2k}-1}{99}$ และ $N = \frac{10^{15}-1}{999}$

ดังนั้นถ้า $k = 15$ จึงได้ว่า $M/N = \frac{(10^{15}-1)(10^{15}+1)}{99} \cdot \frac{999}{10^{15}-1} = \frac{(10^{15}+1)(111)}{11}$

และ 11 หาร $10^{15}+1$ ลงตัว

(ดูผลต่างของผลบวกในหลักคู่กับหลักคี่ หรือจะใช้ว่า $10 \equiv -1 \mod 11 \Rightarrow 10^{15}+1 \equiv (-1)^{15}+1 \equiv 0 \mod 11$ ก็ได้)

จึงสรุปได้ว่า k น้อยสุดคือ 15

[Thamma]

ขอบคุณมากค่ะที่กรุณาอธิบายอย่างละเอียด เข้าใจได้ง่าย
เพิ่งรู้จัก mod เป็นครั้งแรก

วิธีป่าเถื่อนนี่เจ๋งจริงๆ !

แต่สงสัยอยู่เรื่องหนึ่งว่า ตัวเลข 31 มีที่มาอย่างไรคะ