limit of trigonometric function

[B บ ....]

ช่วยแสดงวิธีหาลิมิตให้หน่อยครับ(ถ้าจะละเอียดหน่อยก็จะขอบคุณมากขับ มือใหม่หัดหาลิมิต)
$ \lim_{x \to \ 0}\frac{1 - sec^2 2x}{x^2} $
$\lim_{\theta \to \ 0} \frac{\theta }{1 - cos \theta } $

[-InnoXenT-]

ใช้ L'Hospital Rule ก็ออกแล้วครับ ^^

[B บ ....]

ขอโทษจริงๆ ครับ ทำไงอ่ะ ทำไม่เป็น T T

[-InnoXenT-]

ในกรณีที่เป็น Indeterminate form ซึ่งหมายถึง เมื่อแทนค่า ลิมิตเข้าไปแล้ว ได้ค่า $\frac{0}{0} ,\frac{\infty }{\infty} ,0^0 ,1^{\infty} ,\infty - \infty, 0\times \infty ,\infty^{0}$

ให้จัดรูปให้เป็นเศษส่วน แล้วดิฟตัวเศษ หนึ่งที ดิฟ ตัวส่วนหนึ่งที(ไม่ใช่ดิฟผลหารนะ) แล้วแทนค่า ก็จะได้ลิมิตครับ แต่ถ้ายังได้เป็น indeterminate form อีก ก็ทำแบบนี้ซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้ค่า ลิมิตครับ = =a

[Toru]

ขอแสดงโดยไม่ใช้โลปิตาลละกันนะครับ

ก่อนอื่นสิ่งที่ควรรู้ก็คือ
$\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1$
และ
$\lim_{x \to 0}\frac{1-cos x}{x}=0$

ข้อ 1.

$\lim_{x \to 0}\frac{1-sec^2 2x}{x^2}$

เพราะว่า $1-sec^2 \theta = -tan^2 \theta$

จะได้

$\lim_{x \to 0}\frac{-tan^2 2x}{x^2}$

=$\lim_{x \to 0}-(\frac{tan 2x}{x})^2$

ใช้สูตร $tan 2x=\frac{2tan x}{1-tan^2 x}$ จะได้

=$\lim_{x \to 0}-(\frac{2tan x}{(1-tan^2 x)x})^2$

=$\lim_{x \to 0}-4[(\frac{sin x}{x})(\frac{1}{cos x})(\frac{1}{1-tan^2 x})] ^2$

ต่อไปก็หาลิมิตของเศษส่วนแต่ละตัวในวงเล็บครับ

ตัวแรก $\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1$ จากที่บอกไว้ข้างต้น

ตัวที่ 2 เพราะว่า $\lim_{x \to 0}cos x=cos 0=1$ ดังนั้น $\lim_{x \to 0}\frac{1}{cos x}=\frac{1}{1}=1$

และตัวสุดท้าย เพราะว่า $\lim_{x \to 0}tan x = \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{cos x}=\frac{sin 0}{cos 0}=\frac{0}{1}=0$

เพราะฉะนั้น $\lim_{x \to 0}tan^2 x=0$ -->$\lim_{x \to 0}1-tan^2 x=1-0=1$ ฉะนั้น $\lim_{x \to 0}\frac{1}{1-tan^2 x }=\frac{1}{1}=1$

แสดงว่าเศษส่วนทุกตัวหาลิมิตได้ ก็จะทำให้ได้ว่า $\lim_{x \to 0}-4[(\frac{sin x}{x})(\frac{1}{cos x})(\frac{1}{1-tan^2 x})] ^2 = -4[(1)(1)(1)]^2 =-4$

ข้อ 2 เรารู้ว่า $\lim_{\theta \to 0}\frac{1-cos \theta }{\theta }=0$

เพราะฉะนั้น $\lim_{x \to 0} \frac{\theta}{1-cos \theta }=\lim_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-cos \theta }{\theta }}=\frac{1}{0}=\infty$

ข้อ 2 ผมไม่มั่นใจวิธีทำเท่าไหร่นะครับ แต่ลองใช้โปรแกรมวาดกราฟ เข้าใกล้อนันต์จริงๆ

[Suwiwat B]

วิธีของคุณ Toru น่าจะถูกเเล้วนะครับ ^-^