Marathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ]

[Siren-Of-Step]

ทำไม ไม่ค่อยมีคนเล่นเลย ไม่เหมือนกระทู้ Marathon Primary

กฎคือ 1. อย่าตอบโดยไม่ใส่หน่วย และต้องแสดงวิธีทำคร่าว ๆ
2. ไอเดียการทำโจทย์อาจมีมากกว่านั้น สามารถโพสได้
3. อย่าใช้ความรู้ เกิน ม.ต้น
4. ถ้าโจทย์ผิด ช่วยโพสด้วย

ปล. โจทย์ของ Scylla_Shadow ขอให้ประมาณ Pre สอวน หน่อยครับ

มาเริ่มกัน

จงหาเศษจากการหาร
$1*(1!)^{2000} + 2*(2!)^{2000} + 3*(3!)^{2000} +.....................+7777*(7777!)^{2000}$ ด้วย $7$ (ห้ามใช้ modulo)

[TuaZaa08]

ทำเป็นได้แต่ใช้ mod อ่ะ

- -

[nut123]

ผมว่าจะใช้ไม่ใช้ mod มันก็เหมือนกันแหละครับ
ปแค่เปลี่ยนวิธีเขียนและพิสูจน์อะไรเพิ่มนิดหน่อยครับ

[banker]

ห้ามใช่ modulo ก็ใช้ทวินามซิครับ

(คุณกิตติแกถนัดเรื่องนี้)




ข้อแรกก็ยากแล้ว ยังทำไม่ได้ครับ

แต่มาเดาคำตอบว่า เศษ 0 ไว้ก่อน
(คือมองๆดูแล้ว 1111 หารด้วย 11 ลงตัว)

[กิตติ]

โดนแซวซะแล้ว...คุณอาBanker....วิธีแบบอึด ถึก และมึนครับ
ขอไปหาแนวคิดข้อนี้ก่อน
ท่าทางจะเอาเรื่องโจทย์ข้อนี้....ไม่ง่าย
ใช้ทวินามแล้วน่าจะยาวมาก เพราะต้องนำเอาเศษที่เหลือแต่ละตัวกลับมาบวกกันใหม่แล้วเช็คเป็นรอบสุดท้ายว่าหารด้วย 11เหลือเศษเท่าไหร่
ถ้าแค่10ตัวก็เหนื่อยแล้ว นี่เล่นเป็นพัน คงไม่ไหวครับ น่าจะมีวิธีอื่นด้วย

[คนอยากเก่ง]

mod คือเอาเศษากการหารใช่ไหมครับ
แล้วทำแบบ mod ยังไงครับ

[Siren-Of-Step]

มาเปลี่ยนโจทย์ให้ครับ แบบนี้ ก็พอไหวนะครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

mod คือเอาเศษากการหารใช่ไหมครับ
แล้วทำแบบ mod ยังไงครับ

คุณเข้าใจ นิยาม ของ mod แล้วหรือยังครับ ลองทำทีละ ส่วนดู

[{ChelseA}]

4 รึเปล่าครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

คุณเข้าใจ นิยาม ของ mod แล้วหรือยังครับ ลองทำทีละ ส่วนดู

นิยามเป็นยังไงครับ รู้แต่ความหมาย ถ้าเป็น คำนาม: กลุ่มคนหนุ่มสาวในอ้งกฤษช่วงปี ค.ศ. 1960 แต่ถ้าเป็นคำย่อ ย่อมาจาก Ministry of Defence ถ้าเป็นคุณศัพท์: เกี่ยวกับแบบเสื้อแปลกๆ
ผมเข้าใจถูกมั้ยครับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

คุณเข้าใจ นิยาม ของ mod แล้วหรือยังครับ ลองทำทีละ ส่วนดู

ขอคำอธิบายmod ได้ไหมครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อนี้ขอให้ ห้ามใช้ modulo ละกันครับ เพราะมันง่ายเกิน

[bakured]

เศษ1ป่าวหว่า...พยายามไม่ใช้modแล้วนะ--*

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงหาเศษจากการหาร
$1*(1!)^{2000} + 2*(2!)^{2000} + 3*(3!)^{2000} +.....................+7777*(7777!)^{2000}$ ด้วย $7$ (ห้ามใช้ modulo)

แค่ข้อแรกก็เจออุปสรรคซะแล้ว

ยังไงก็มาขอมั่วด้วยคน โดยใช้ความรู้พื้นฐานระดับประถมกับมัธยมต้น ..แบบถึกสุดๆๆๆๆ

จากการสังเกต การหาเศษที่เกิดจาก
$1*(1!)^{2000} + 2*(2!)^{2000} + 3*(3!)^{2000} +.....................+7777*(7777!)^{2000}$ หารด้วย $7$ ก็คือการรวมๆเศษจาก

$\frac{1*(1!)^{2000}}{7} + \frac{2*(2!)^{2000}}{7} + \frac{3*(3!)^{2000}}{7} + .... + \frac{777*(7777!)^{2000}}{7}$ แล้วมาหารด้วย 7 ต่ออีก จนเหลือเศษน้อยกว่า 7


แต่ตั้งแต่ $ \frac{7*(7!)^{2000}}{7} .... \frac{7777*(7777!)^{2000}}{7}$ ล้วนหารด้วย 7 ลงตัว จึงมีเศษเป็น 0

เราจึงหาเศษแค่
$\frac{1*(1!)^{2000}}{7} + \frac{2*(2!)^{2000}}{7} + \frac{3*(3!)^{2000}}{7} + .... + \frac{6*(6!)^{2000}}{7}$


เริ่มต้น
$\frac{1*(1!)^{2000}}{7} = \frac{1}{7}$ มีเศษเป็น $1$ ....(1)


$ \frac{2*(2!)^{2000}}{7} = \frac{2^{2001}}{7}$
$\frac{2^1}{7} $ เหลือเศษ 2
$\frac{2^2}{7} $ เหลือเศษ 4
$\frac{2^3}{7} $ เหลือเศษ 1
$\frac{2^4}{7} $ เหลือเศษ 2
$\frac{2^5}{7} $ เหลือเศษ 4
$\frac{2^6}{7} $ เหลือเศษ 1
.
.
.
$\frac{2^{2001}}{7} $ เหลือเศษ 1 ......(2)



$ \frac{3*(3!)^{2000}}{7} = \frac{3*(6)^{2000}}{7} $
$\frac{6^1}{7}$ เหลือเศษ 6 คูณเศษด้วย 3 เป็นเศษ 18 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 4
$\frac{6^2}{7}$ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 3 เป็นเศษ 3 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 3
$\frac{6^3}{7}$ เหลือเศษ 6 คูณเศษด้วย 3 เป็นเศษ 18 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 4
$\frac{6^4}{7}$ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 3 เป็นเศษ 3 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 3
.
.
.
$\frac{3*6^{2000}}{7}$ จึงเหลือเศษ 3 .......(3)




$\frac{4*(4!)^{2000}}{7} = \frac{4*(24)^{2000}}{7}$

$\frac{24^1}{7}$ เหลือเศษ 3 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 12 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 5
$\frac{24^2}{7}$ เหลือเศษ 2 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 8 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 1
$\frac{24^3}{7}$ เหลือเศษ 6 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 24 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 3
$\frac{24^4}{7}$ เหลือเศษ 4 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 16 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 2
$\frac{24^5}{7}$ เหลือเศษ 5 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 20 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 6
$\frac{24^6}{7}$ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 4 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 4
$\frac{24^7}{7}$ เหลือเศษ 3 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 12 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 5
$\frac{24^8}{7}$ เหลือเศษ 2 คูณเศษด้วย 4 เป็นเศษ 8 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 1

เริ่มวนแล้วครับ 5-1-3-2-6-4 รอบละ6
2000 หารด้วย 6 เหลือเศษ 2 ตกช่องเศษ 1

ดังนั้น
$\frac{4*(24)^{2000}}{7}$ จึงเหลือเศษ 1




$\frac{5*(5!)^{2000}}{7} = \frac{5*(120)^{2000}}{7}$

$\frac{(120)^{1}}{7} $ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 5 เป็นเศษ 5 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 5

$\frac{(120)^{2}}{7} $ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 5 เป็นเศษ 5 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 5

$\frac{(120)^{3}}{7} $ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 5 เป็นเศษ 5 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 5
.
.


$\frac{5*(120)^{2000}}{7} $ จึงเหลือเศษ 5 ........(5)







$\frac{6*(6!)^{2000}}{7} = \frac{6*(720)^{2000}}{7} $

$\frac{(720)^{1}}{7}$ เหลือเศษ 6 คูณเศษด้วย 6 เป็นเศษ 36 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 1
$\frac{(720)^{2}}{7}$ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 6 เป็นเศษ 6 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 6
$\frac{(720)^{3}}{7}$ เหลือเศษ 6 คูณเศษด้วย 6 เป็นเศษ 36 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 1
$\frac{(720)^{4}}{7}$ เหลือเศษ 1 คูณเศษด้วย 6 เป็นเศษ 6 หารด้วย 7 อีกทีเหลือเศษ 6
.
.
.
$\frac{6(720)^{2000}}{7}$ จึงเหลือเศษ 6 .....(6)




รวมเศษจากข้างต้นได้ $1+1+3+1+5+6 = 17 $ หารด้วย 7อีกที ได้เศษ = 3 $ \ \ Ans.$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

คุณอาbankerขยันโพสมากครับ