แฟกทอเรียล

[noppon]

จงหาค่าของ n และ k ที่ทำให้ n!+k! เป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดยที่ nนk และ n กับ k ไม่เท่ากับ 0 1 2
(ถ้ามีเป็นอนันต์ตอบติดตัวแปรก็ได้)

[warut]

$4!+5!=12^2$

[noppon]

16a+15b,15a-16b จงหาคู่อันดับ (a,b) โดยที่ a,bฮI ที่ทำให้ทั้งคู่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
(ถ้าคำตอบมีเป็นอนันต์ตอบติดตังแปรก็ได้)
ข้อนี้ช่วยแสดงวิธีทำด้วยนะครับ

[nooonuii]

$a = 7696c^2+7215d^2$
$b = 7215c^2-7696d^2$
where $c,d\in\mathbb{Z}$

[warut]

ผมทำได้เหมือนคุณ nooonuii ครับ แต่ช้ากว่า ถ้างั้นผมช่วยแสดงวิธีทำให้ละกันนะ

ให้ $$ \begin{array}{rcl} 16a+15b & = & x^2 \\ 15a-16b & = & y^2 \end{array} $$ แก้สมการ แล้วจะได้ว่า $$a= \frac{16x^2+15y^2}{481} $$ $$b= \frac{15x^2-16y^2}{481} $$ จากการทดลองให้ $x,y\equiv0-480\pmod{481}$ จะพบว่ามีเพียง $x,y\equiv0\pmod{481}$ เท่านั้นที่ทำให้ 481 หาร $16x^2+15y^2$ และ $15x^2-16y^2$ ลงตัว (ด้วยความขี้เกียจผมเลยใช้คอมพ์ให้ทำง่ายๆแบบนี้แหละครับ แต่ถ้าจะทำแบบ manual ทำอย่างที่ผมทำให้ดูข้างล่างจะดีกว่า) แทน $x$ ด้วย $481c$ และ $y$ ด้วย $481d$ จะได้คำตอบของคุณ nooonuii ข้างบนครับ

[noppon]

ให้ a,b,cฮN ที่ a/b²,b²/a³,a³/b⁴,b⁴/a⁵...
โดยที่เครื่องหมาย / คือหารลงตัว จงแสดงว่า a = b
เป็นโจทย์ในค่าย สอวน ค่าย 1 นะครับ(บทที่ 2 เรื่องการหารลงตัว)
ผมทำไม่ได้ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ

[warut]

ดูคำตอบได้ที่นี่ครับ

[noppon]

คุณ warut ครับ elementary number theory และ quadratic residues คืออะไรครับ คือผมไปอ่านในกระทู้ ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 23: Number Theory once more แล้วเกิดอาการงงขึ้นมาครับ

[warut]

elementary number theory = ทฤษฎีจำนวนขั้นต้น (หรืออะไรทำนองนี้แหละ ) อย่างเช่นที่ใช้ในข้อ 2. ข้างบนนั่นล่ะครับ

ใน number theory เราจะเรียก $a$ ว่าเป็น quadratic residue modulo $m$ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ ที่ $x^2\equiv a\pmod m$

สำหรับข้อ 2. ถ้าใช้ความรู้เกี่ยวกับ quadratic residue จะสามารถทำแบบ manual ได้ง่ายขึ้นมากครับ

ถ้า $481=13\cdot37$ หาร $15x^2-16y^2$ ลงตัว เราจะได้ว่า $15x^2\equiv (4y)^2\pmod{13}$ และ $15x^2\equiv (4y)^2\pmod{37}$

แต่ 15 ไม่เป็น quadratic residue ทั้ง modulo 13 และ modulo 37 ดังนั้นเราจึงได้ว่า $x\equiv y\equiv0$ modulo 13 และ modulo 37 นั่นคือ $x\equiv y\equiv0\pmod{481}$ ครับ