เตรียมสอบสมาคมคณิตศาสตร์

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1. จงหาจำนวนของจำนวนตรรกยะ \( \frac{m}{n} \) ทั้งหมดซึ่ง
- $0<\frac{m}{n} <1$
- $(m,n) = 1$
- $mn = 25! $

2. จงหาค.ร.น. ที่น้อยที่สุดของจำนวนนับ 20 จำนวน ที่ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน ซึ่งมีผลบวกเท่ากับ 801

3. จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่เล็กที่สุดซึ่งทุกๆ หลักของ 15n ประกอบด้วย 8 และ 0

4. จงหาหลักหน่วยของ \( \lceil{\frac{10^20000}{10^{100}+3}}\rceil \)

5. ให้ x₁, x₂, x₃, ... เป็นจำนวนซึ่งสามารถเขียนเป็นผลบวกของตัวยกกำลังของ 3 ซึ่ง x₁< x₂< x₃< ...
เช่น x₁ = 3⁰, x₂ = 3¹, x₃ = 3⁰+3¹
จงหาค่าของ x₁₀₀

6. จงหาจำนวนเต็มบวก m,n ทั้งหมดที่ทำให้ 2^m = 3ⁿ+5

7. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทำให้ n²-19n+99 เป็นกำลังสองสมบูรณ์

8. มีคู่อันดับ (a,b) กี่คู๋อันดับ เมื่อ $19\leqslant a\leqslant b\leqslant 97$ และ $49\mid a^2+b^2$

9. จงหาจำนวนเต็ม n ทั้งหมดที่ทำให้ $n+1\mid n^2+1$

[นกกะเต็นปักหลัก]

$3.8880$ ครับ
7.17ครับ
9. 0,-2,1,-3

[ATEKROW]

ข้อ 6
ได้ (m,n) = (3,1) , (5,3)
ไม่แน่ใจว่าจะมีตัวอื่นๆ รึเปล่า ได้แต่ว่า n เป็นจำนวนคี่เท่านั้น...

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 ลองเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะสิครับ จะเกิดจำนวนเฉพาะ 9 ตัวมาคูณกัน (ยังไม่นับเลขชี้กำลังนะครับ)

ถ้า $(m,n)=1$ และ $mn=25!$ แสดงว่า $m$ และ $n$ ต้องเกิดจากการคูณด้วยจำนวนเฉพาะเหล่านั้น แต่ว่าไม่มีจำนวนเฉพาะตัวไหนซ้ำกัน

ประมาณว่าเอามาเป็นก้อนๆ รวมเลขชี้กำลังด้วย จะได้ว่ามีสิทธิ์เลือกทั้งหมด $2^9$ วิธีครับ แต่ว่าเขาบอกว่า $m<n$

แสดงว่าต้องหารออกด้วย $2$ (ออกครึ่งหนึ่ง) จึงตอบว่ามีทั้งหมด 256 คู่ครับ

ผิดถูกยังไงชี้แนะด้วยครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 5 ลองเปลี่ยน 100 เป็นเลขฐานสอง แล้วเอาชุดตัวเลขจากเลขฐานสองนั้นมาเขียนในฐาน 3 ก็จะได้คำตอบครับ