โจทย์สอวน.

[jabza]

• ถ้า$(x-2546)^3 = (x-2547)^3+(x-2548)^3+(x-2549)^3$ แล้ว7หารxเหลือเศษเท่าใด
ก.1 ข.2 ค.3 ง.4 จ.5

••จงหาผลคูณของ $\frac{3}{4}*\frac{8}{9}*\frac{15}{16}*\frac{24}{25}*.....*\frac{9999}{10000}$
ปล.โปรดช่วยชี้แนะด้วยขอรับ
ปล2. * = เครื่องหมายคูณนะครับ
ปล3.ขอโทษครับเป็นโจทย์ม.ต้นแบบพิเศษไม่ใช่สอวน.

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

??จงหาผลคูณของ $\frac{3}{4}*\frac{8}{9}*\frac{15}{16}*\frac{24}{25}*.....*\frac{9999}{10000}$

HINT:
$$ \prod_{n = 2}^{100} (1-\frac{1}{n^2}) = (\prod_{n = 2}^{100} (1-\frac{1}{n})) (\prod_{n = 2}^{100} (1+\frac{1}{n})) $$

[jabza]

เย้ๆ ทำได้แล้วครับข้อ1.ตอบ งอ งู นะจ๊ะ คุณพ่อบอกว่ามีTrickนิดเดียว จำ$6^3 =5^3 + 4^3 + 3^3$

ข้อ2.ต้องขอบคุณพี่passer-by ที่Hintให้ ผมได้คำตอบไม่รู้ว่าถูกไหม ช่วยเช็คด้วยนะครับได้$\frac{9999}{20000}$

อะๆให้เพิ่มอีกซักข้อนึงดีกว่า
??? จงแก้ระบบสมการ ให้a,b,c,d เป็นจำนวนจริงบวกหรือ0 $a^2+b^2 = 5 , c^2+d^2 = 5 , ac+bd = 5 , ac-bd = 3 $ ยังไม่ได้คิดนะครับข้อนี้ ช่วยhintซักนิดก็ดี

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ข้อ2.ต้องขอบคุณพี่passer-by ที่Hintให้ ผมได้คำตอบไม่รู้ว่าถูกไหม ช่วยเช็คด้วยนะครับได้$\frac{9999}{20000}$

ตอบ $\frac{101}{200}$ ครับ

[teamman]

ได้ a = รูท 4 ได้ b= 1 ได้ c = รูท 4 ได้ d = 1

ปะคับ รูท 4 =2
จะได้ a = 2 ได้ b= 1 ได้ c = 2 ได้ d = 1

[Art_ninja]

ข้อ 3 ตอบ $a=2,b=1,c=2,d=1$ ครับ(ไม่รู้ถูกเปล่า)

Hints:หาค่าของ abcd และ ad+bc

[jabza]

คำตอบของพี่หยินหยางถูกแล้วครับ ผมมึนไปหน่อย รีบตอบ ข้อสองตอบ$\frac{101}{200}$ ครับ

ส่วนข้อสามผมคิดได้เหมือนพี่Art_ninja อะๆ เอาไปอีกTwo Questions !! นะคร้าบบบบบบบ คราวนี้ไม่หมูแล้วครับแต่จะเป็นP--i--- g = Pig ผมคิดนานนะ กว่าจะออก
???? กำหนดลำดับ $7,9,19,39,71,117,179 ..... $จงหา พจน์ที่13 ของลำดับ และความสัมพันธ์ของลำดับ(คำตอบแรกหาง่าย แต่คำตอบที่สองหายากนะครับ มะบอกคำตอบมะงั้นเด๋ว มะตื่นเต้น อิอิ )

????? จงหาจำนวนเต็มบวก c ทั้งหมดที่ทำให้สมการ $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (cmn + 1)^2 +1$ มีจำนวนคำตอบ (m,n) ที่เป็นจำนวนเต็มบวกเป็นอนันต์ (ข้อนี้ยังคิดมะออกครับ เพราะว่า มัวแต่คิดข้อ4จนมึน )

ปล.โปรดตรวจเช็คด้วยว่าถูกไหม

[teamman]

ข้อ4 ตอบ 999 คับถูกปะ

คิดโดยหาผลต่างของแต่ละตัว แล้วนำมาหาค่าจะได้ว่า ผลต่างของแต่ละตัวห่างกัน ตัวละ2คับ

[หยินหยาง]

ตอบขัอ 4 ส่วนที่เหลือก่อน

สูตร คือ $ 7+2(n-1)+\frac{8(n-1)(n-2)}{1*2}+\frac{2(n-1)(n-2)(n-3)}{1*2*3}$

[jabza]

คำตอบที่1ที่พี่teamman ตอบถูกครับ!! ส่วนความสัมพันธ์ คือ $aที่n = \frac{n^3+6n^2-19n+33}{3}$
พี่หยินหยางเก่งจริงๆครับ ขนาดผมยังทำไม่ได้เลย ต้องให้คุณพ่อหาหนังสือม.6ให้เลยครับ

ปล.พี่หยินหยางเอาสูตรมาจากไหนครับอยากรู้อะ
ส่วนข้อ?????(5) ยังไม่มีคนตอบเลยครับ ผมคิดได้ cเป็นจำนวนเต็มบวก = 1 เท่านั้น

ปล.ช่วยเช็คคำตอบให้ด้วยครับ ขอบคุณครับบบ

[Art_ninja]

ข้อ 5 ได้ c=1 ค่าเดียวครับ(ไม่แน่ใจ)

[Art_ninja]

วิธีคิดที่ผมทำใช้อสมการครับ ไม่ทราบว่าจะถูกรึเปล่าถ้าผิดก็บอกด้วยนะครับ
solution
$(m^2 + 1)(n^2 + 1)=(cmn+1)^2 +1$
$m^2 n^2 + m^2 + n^2 + 1 =(cmn+1)^2 +1$
$-m^2 n^2 + m^2 + n^2 -1 = (cmn+1)^2 -1 -2m^2 n^2$
$-(m^2 -1)(n^2 -1)=(cmn+1)^2 -1 -2m^2 n^2$
$(m^2 -1)(n^2 -1)=-(cmn+1)^2 +1+2m^2 n^2$
$\because m,n\in \mathbf{N} $
$\therefore (m^2 -1)(n^2 -1)\geq 0$
$\therefore -(cmn+1)^2 +1+2m^2 n^2 \geq 0$
$1+2m^2 n^2\geq (cmn +1)^2$
$1+2m^2 n^2\geq c^2 m^2 n^2 + 2cmn +1$
$2mn\geq c^2mn+2c$
$2mn -c^2mn-2c\geq 0$
$\because mn\geq 1,c\in \mathbf{N} $
$\therefore 2mn-c^2mn-2c \geq 2-c^2-2c\geq 0$
$\therefore 2-c^2-2c \geq 0$
$c^2+2c-2\leq 0$
$c\leq \frac{-2\pm \sqrt{12} }{2} $
$c\leq 1$
$c=1$