ร่วมเฉลยปัญหามุมนักคิดใน pratabong

[LightLucifer]

ว้าวพี่ noonuii ลงมาเล่นด้วยแล้ว
66. $ให้ a, b, c$ เป็นความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC
จงพิสูจน์ว่า $a^2 (b + c − a) + b^2 (c + a − b) + c^2 (a + b − c) ≤ 3abc$ (1964 IMO)

$L.H.S=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-a^3-b^3-c^3\leqslant 3abc$
$\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leqslant a^3+b^3+c^2+3abc$

ซึ่งเป็นจริงโดย schur's inequality

68. ผมคิดได้ 153846 วิธีคิดผมไม่สวยเลยมีใครมีแนวคิดที่ดีกว่าก็โปรดชี้แนะด้วย

คิดโดย ให้ $n=(a_na_{n-1}...a_1(10)+6)4= 6(10^n)+a_na_{n-1}...a_1$
สมมติให้ $a_na_{n-1}...a_1=k$ จัสมการใหม่ได้ $k(39)+24=6(10^n)\rightarrow 13k+8=2(10^n)$
แ้ลวค่อยมาพิจรณาหลักหน่วยของ k โดยที่หลักหน่วยคูณ 13 แล้วลงท้ายด้วย 2 จะได้หลักหน่วยคือ 4 แล้วก็ใช้หลักการเดียวกันพจรณาไล่ไปเรื่อยๆ

[-SIL-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

57. ตอบ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

Solution:

จัดรูปอสมการใหม่ได้

$2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (x-a)^2\leq \dfrac{7}{4}+2a^2$ ทุกค่า $x\in [0,1]$

Case 1: $a\geq 1$

จะได้ $(1-a)^2\leq (x-a)^2\leq (0-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$

ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (1-a)^2$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$

ซึ่งเป็นไปไม่ได้

Case 2: $a\leq 0$

จะได้ $a^2\leq (x-a)^2\leq (1-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$

ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$

ซึ่งจะได้ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq 0$

Case 3: $0\leq a\leq 1$

จะได้ $0\leq (x-a)^2\leq\max{\{a^2,(1-a)^2\}}$ ทุก $x\in [0,1]$

ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq 0$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$

ซึ่งจะได้ $0\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

สรุปว่า $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

แทน $a=\frac{1}{2}$ ได้ $f(x)=x^2-x-1$ ซึ่งถ้า $x=0$ จะได้ $|f(x)|$ ตรงตามเงื่อนไขอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

แทน $a=\frac{1}{2}$ ได้ $f(x)=x^2-x-1$ ซึ่งถ้า $x=0$ จะได้ $|f(x)|$ ตรงตามเงื่อนไขอ่ะครับ

The inequality $|f(x)|\leq 1$ must hold for all $x\in [0,1]$.

$x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow |f(x)|=|x^2-x-1|=\dfrac{5}{4}>1$

[-SIL-]

ขอบคุณครับ

[-SIL-]

เท่าที่คิดได้รวบยอดนะครับ
$55. 3$
$58. 6$
$59. \frac{13}{3}$
$61. 0,\frac{4x^2}{9}$
$63. (m,n)=(0,0),(0,1)$
$64.$ ใช้ยูคลิดเหมือนคุณ Light ครับ
$65. frac{(2n+1)\pi}{2},frac{(2n+1)\pi}{4},frac{(12n\pm1)\pi}{6},frac{(12n+6\pm1)\pi}{6}$
$67. a\not=b\pm2|b|\wedge a\not=\pm b\wedge a\not=0$
$69. [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{2}]$
$75. 48$
$77. 245$

ปล. รบกวนผู้รู้ทุกท่านช่วยตรวจด้วยครับ
ปล2. AIME นี่คือการแข่งขันอะไรครับ

[LightLucifer]

ข้อ 65. ผมกลับมาคิดใหม่แล้วได้

$x=\frac{\pi }{2} +2k\pi,\frac{3\pi }{2} +2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi,\frac{3\pi }{4}+2k\pi,\frac{5\pi }{4} +2k\pi,\frac{7\pi }{4} +2k\pi,\frac{\pi }{ุ6} +2k\pi,\frac{5\pi }{6} +2k\pi,\frac{7\pi }{6} +2k\pi,\frac{11\pi }{6} +2k\pi$

ตรงกับของคุณ SIL ครับ

[LightLucifer]

ข้อ 70. ไม่ confirm

กำหนด f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข
$f (2 + x) = f (2 − x)$ และ $f (7 + x) = f (7 − x)$ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x
ถ้า$ x = 0 $เป็นรากหนึ่งของสมการ $f (x) = 0$
แล้ว รากของสมการ $f (x) = 0$ ซึ่งมีค่าอยู่ในช่วง$ −1000 ≤ x ≤ 1000$ จะมีอยู่ทั้งหมด อย่างน้อยที่สุดกี่ตัว
(AIME 1984)

จาก $f (2 + x) = f (2 − x)$ แทน $x=10k_0+2$
$f(10k_0+4)=f(-10k_0)$
เมื่อนแทน $k_0=0$ จะได้ $f(4)=0$
พิจรณา $f (7 + x) = f (7 − x)$ แทน $x=10k_1+7$
$f(10(k_1+1)+4)=f(-10k_1)$

กำหนดให้ $k_0=k_1$ จะได้ $f(10k_0+4)=f(10(k_0+1)+4)$
เมื่อแทน $k_0=0$ จะได้ $f(10(k)+4)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ (สรุปได้โดยใช้แนวคิดคล้ายๆ Induction อ่ะครับ)
แต่ $f(10k+4)=f(-10k)$ จะได้ $f(-10k)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ เช่นกัน
จะได้ x ที่อยุ่ในช่วง $ −1000 ≤ x ≤ 1000$ มี จะมีอย่างน้อย $200+200=400$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ 70. ไม่ confirm

กำหนด f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข
$f (2 + x) = f (2 − x)$ และ $f (7 + x) = f (7 − x)$ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x
ถ้า$ x = 0 $เป็นรากหนึ่งของสมการ $f (x) = 0$
แล้ว รากของสมการ $f (x) = 0$ ซึ่งมีค่าอยู่ในช่วง$ −1000 ≤ x ≤ 1000$ จะมีอยู่ทั้งหมด อย่างน้อยที่สุดกี่ตัว
(AIME 1984)

จาก $f (2 + x) = f (2 − x)$ แทน $x=10k_0+2$
$f(10k_0+4)=f(-10k_0)$
เมื่อนแทน $k_0=0$ จะได้ $f(4)=0$
พิจรณา $f (7 + x) = f (7 − x)$ แทน $x=10k_1+7$
$f(10(k_1+1)+4)=f(-10k_1)$

กำหนดให้ $k_0=k_1$ จะได้ $f(10k_0+4)=f(10(k_0+1)+4)$
เมื่อแทน $k_0=0$ จะได้ $f(10(k)+4)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ (สรุปได้โดยใช้แนวคิดคล้ายๆ Induction อ่ะครับ)
แต่ $f(10k+4)=f(-10k)$ จะได้ $f(-10k)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ เช่นกัน
จะได้ x ที่อยุ่ในช่วง $ −1000 ≤ x ≤ 1000$ มี จะมีอย่างน้อย $200+198=398$

ผมมั่วไปมั่วมาได้ 401 คำตอบอ่ะครับ
ไม่แน่ใจมากถึงมากที่สุด

ปล. ข้อ 75 ผมได้ เศษคือ 35 อ่าครับ
ข้อ 77 ผมได้ 448 อ่ะครับ

[LightLucifer]

อ่า ผมลองนับใหม่ดูแล้วครับ ตัวที่หาร 10 เหลือเศษ 4 ฝั่งบวกได้ 4,14,24,...,994 มี 100 ตัว ฝั่งลบ -4,-14,-24,...,-994 มี 100 ตัว
ดังนั้นคำตอบควรจะเป็น 200 นะ

ปล. ข้อ 75 ผมได้ 35 เท่าน้อง Scylla ครับ

[-SIL-]

ข้อ 75 คิดใหม่ได้ 35 จริงๆครับ
ข้อ 77 น้อง Scylla_Shadow คิดไงหรอครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

ข้อ 75 คิดใหม่ได้ 35 จริงๆครับ
ข้อ 77 น้อง Scylla_Shadow คิดไงหรอครับ

สิ่งที่เป็นจริงสำหรับข้อนี้ครับ ให้ $S$ = สับเซตของ ${1,2,3,4,5,6,7}$

จะได้ว่า $S $ ทำการกระทำตามโจทย์กับ $(7\cup S) $ จะได้ผลลัพธ์เป็น 7 เสมอครับ

[LightLucifer]

ปัญหาที่ 80/2548 (not sure at all)
ถ้าเขียนพหุนาม $1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^{15} + x^{16} − x^{17}$
ในรูปของพหุนาม
$a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + a_3 y^3 + ? + a_{16} y^{16} + a_{17} y^{17}$ โดยที่ $y = x + 1$
และ $a_0 , a_1, a_2 , ?, a_{17}$ เป็นค่าคงที่ แล้ว $a_2$ มีค่าเท่ากับเท่าใด (AIME 1986)

$y=x+1\rightarrow x=y-1$
$1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^15 + x^16 − x^17=1-(y-1)+(y-1)^2-(y-1)^3+...-(y-1)^{15}+(y-1)^{16}-(y-1)^{17}$

So the coefficient of $y^2=\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+...+\binom{16}{2}+\binom{17}{2}=\binom{17+1}{2+1}=\binom{18}{3}=816$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ปัญหาที่ 80/2548 (not sure at all)
ถ้าเขียนพหุนาม $1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^{15} + x^{16} − x^{17}$
ในรูปของพหุนาม
$a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + a_3 y^3 + ? + a_{16} y^{16} + a_{17} y^{17}$ โดยที่ $y = x + 1$
และ $a_0 , a_1, a_2 , ?, a_{17}$ เป็นค่าคงที่ แล้ว $a_2$ มีค่าเท่ากับเท่าใด (AIME 1986)

$y=x+1\rightarrow x=y-1$
$1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^15 + x^16 − x^17=1-(y-1)+(y-1)^2-(y-1)^3+...-(y-1)^{15}+(y-1)^{16}-(y-1)^{17}$

So the coefficient of $y^2=\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+...+\binom{16}{2}+\binom{17}{2}=\binom{17+1}{2+1}=\binom{18}{3}=816$

อีกวิธีนึงครับ สั้นกว่านิดนึง

เราจะได้ว่า $f(x)=\frac{1-x^{18}}{1+x}$
แต่ $x=y-1$
เพราะฉะนั้น $f(y-1)=\frac{1-(y-1)^18}{y}$
สปส ของ $y^2$ = $\binom{18}{3} =816$

[-SIL-]

หลงข้อหรือเปล่าครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

หลงข้อหรือเปล่าครับ

โทษทีครับ หลงจริงๆด้วย แสดงว่าข้างบนที่ผมตอบมาก็ผิด เพราะตอบคนล่ะข้อกัน

แต่ผมก็ยังไม่ตรงกับพี่อ่ะ ข้อ77 ผมได้ 600 ตัวอ่ะครับ

ไม่ลง full solution นะ

ให้ $x=\frac{m}{24}$ ==> ไล่ดูตั้งแต่ m=1,2,3,...,24
จะได้ว่า มีค่าที่เราต้องการ 12 ค่าครับจาก 1-20 นะ
(คือมีค่าที่สอดคล้องกับโจทย์อ่ะ ตั้งแต่ 1-20 มีอยู่ 12 ตัว <หาเอง>)
นั่นคือ 20 จำนวนแรกมีที่สอดคล้อง 12 ตัว
1000 จำนวนแรกมีที่สอคล้อง 600 ตัว (ลองดูครับ มันเป็น pattern)