รวมเรื่องเลขยกกำลังและติดราก(root)

[meng]

โจทย์เลขยกกำลังและติดรากมีวิธีหาคำตอบได้หลายวิธีบางข้อถ้าใช้วิธีตรงๆกว่าจะได้คำตอบก็เหงื่อตก
กระทู้นี้จึงขอเชิญท่านเทพทั้งหลายมาช่วยกันหาโจทย์และเสนอวิธีหาคำตอบที่ง่ายและสะดวกโดยไม่ต้องเหงื่อตกเพื่อแบ่งปันความรู้กันครับ

ยกตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $ \frac{(9+\sqrt{77})^\frac{3}{2} - (9-\sqrt{77})^\frac{3}{2}}{10\sqrt{14}}$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

โจทย์เลขยกกำลังและติดรากมีวิธีหาคำตอบได้หลายวิธีบางข้อถ้าใช้วิธีตรงๆกว่าจะได้คำตอบก็เหงื่อตก
กระทู้นี้จึงขอเชิญท่านเทพทั้งหลายมาช่วยกันหาโจทย์และเสนอวิธีหาคำตอบที่ง่ายและสะดวกโดยไม่ต้องเหงื่อตกเพื่อแบ่งปันความรู้กันครับ

ยกตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $ \frac{(9+\sqrt{77})^\frac{3}{2} - (9-\sqrt{77})^\frac{3}{2}}{10\sqrt{14}}$

ไม่แน่ใจ ในคำตอบครับ

ขอเฉลยหน่อยได้ไหมครับ วิธีคิดจะตามมาทีหลัง

[หยินหยาง]

คำตอบ คือ 2 ครับ

[banker]

ยากจัง

มั่วๆออกมาแล้ว ตอบ 2 หรือเปล่าครับ

[-SIL-]

เพราะว่า $9\pm\sqrt{77} = (\frac{\sqrt{11}\pm\sqrt{7}}{\sqrt{2}})^2$

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

เพราะว่า $9\pm\sqrt{77} = (\frac{\sqrt{11}\pm\sqrt{7}}{\sqrt{2}})^2$

น่าจะมาจาก $(18\pm 2\sqrt{77})$ -->

(ยัด 2 ลงไปเพื่อเข้าสู่ $a\pm 2\sqrt{b}$-->....)

[meng]

ไม่ผิดหวังจริงๆครับ ไปแอบดูเฉลยมาแล้วทุกท่านตอบ 2 ถูกต้องครับ แต่วิธีหาคำตอบยุ่งยากซับซ้อนมากขอเชิญท่านเทพทั้งหลายช่วยกันแสดงวิธีหาคำตอบที่ง่ายที่สุดเพื่อแบ่งปันความรู้กันครับ ขอบคุณๆๆ

[banker]

เอาวิธีทำด้วยหรือครับ บอกก่อนผมมั่วนะครับ


เพราะว่า
$(\sqrt{a} +\sqrt{b} )^2 = a+b+2\sqrt{ab} $ และ

$(\sqrt{a} - \sqrt{b} )^2 = a+b-2\sqrt{ab} $


จะได้ว่า $9\pm\sqrt{77} = \dfrac{18\pm 2 \sqrt{77}}{2} = \dfrac{11 \pm 2 \sqrt{77} +7}{2} = (\dfrac{\sqrt{11}\pm\sqrt{7}}{\sqrt{2}})^2$



จากโจทย์ $ \frac{(9+\sqrt{77})^\frac{3}{2} - (9-\sqrt{77})^\frac{3}{2}}{10\sqrt{14}} $

เพื่อไม่ให้ยุ่งยาก เอาเฉพาะตัวเศษก่อนนะครับ

$ \left((\frac{\sqrt{11} +\sqrt{7} }{\sqrt{2} })^2\right)^{\frac{3}{2}} - \left((\frac{\sqrt{11} -\sqrt{7} }{\sqrt{2} })^2\right)^{\frac{3}{2}}$

$= (\frac{\sqrt{11} +\sqrt{7} }{\sqrt{2} })^3 - (\frac{\sqrt{11} -\sqrt{7} }{\sqrt{2} })^3$

จากเอกลักษณ์กำลังสาม $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ จะได้

$ = [(\frac{\sqrt{11} +\sqrt{7} }{\sqrt{2} })-(\frac{\sqrt{11} -\sqrt{7} }{\sqrt{2} })][(\frac{11+2\sqrt{77} +7}{2 })+(\frac{11-7}{2 })+(\frac{11-2\sqrt{77} +7}{2})]$

$ = (\frac{2\sqrt{7} }{\sqrt{2} })(\frac{18+2\sqrt{77}+4+18-2\sqrt{77} }{2})$

$= (\frac{2\sqrt{7} }{\sqrt{2} } \cdot \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }) (\frac{40}{2})$

$= 20\sqrt{14} $

ประกอบตัวส่วนลงไปจะได้

$= \frac{20\sqrt{14}}{10\sqrt{14}}$

$=2$

[meng]

ซือแป๋ banker ยังคงยอดเยี่ยมเหมือนเดิมสมกับฉายา"กระบี่ธรรมชาติ" สรุปวิธีที่สะดวกที่สุดคือ ใช้เอกลักษณ์ผลต่างกำลังสาม และสำหรับเทอมหน้าของเศษ ($(\sqrt{9+\sqrt{77}})-(\sqrt{9-\sqrt{77}})$) ก็ใช้วิธี Conjugate คือจับยกกำลัง2และใส่รากที่2กลับ $$\sqrt{((\sqrt{9+\sqrt{77}})-(\sqrt{9-\sqrt{77}}))^2}$$ จะได้ผลัพธ์เท่ากับ $\sqrt{14}$ พอดี


เวลาผมเจอโจทย์ตัวเลขมากๆทีไรมักจะเบื่อหน่ายทุกที เช่น
กำหนดให้ $19^{a}=37^{b}=53^{c}=1,388,233,081$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}$

ช่วยกันหาวิธีที่ง่ายๆที่ไม่ต้องออกแรงมากมากหน่อยครับ

สะสารเมื่อถูกทำให้แตกตัวออกไปจะให้พลังงานเป็นปฏิภาคกลับกับปริมาตรโดยมีค่าคงที่เท่ากับความเร็วของแสงยกกำลังสอง$E=mc^2$ ความรู้เมื่อแตกกระจายออกไปมากๆยิ่งมีคนได้รับประโยชน์มาก

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

เวลาผมเจอโจทย์ตัวเลขมากๆทีไรมักจะเบื่อหน่ายทุกที เช่น
กำหนดให้ $19^{a}=37^{b}=53^{c}=1,388,233,081$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}$

ช่วยกันหาวิธีที่ง่ายๆที่ไม่ต้องออกแรงมากมากหน่อยครับ

$19^{a} =1,388,233,081 = 37259^2$
$19 = 37259^{\frac{2}{a}}$ ....(1)


$37^{b} =1,388,233,081 = 37259^2$
$37 = 37259^{\frac{2}{b}}$ ....(2)

$53^{c} =1,388,233,081 = 37259^2$
$53 = 37259^{\frac{2}{c}}$ ....(3)

(1)(2)(3) จะได้ $ \ \ 19\times 37\times 53 = 37259^{\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}$

$ \ \ 37259^1 = 37259^{\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}$

จะได้ $ \ \ \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c} = 1$

$ \ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{1}{2} = \frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{3}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$


กรณี $ \ \frac{1}{c} = \frac{1}{4}$ จะได้ว่า

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{c} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c} = \frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{4} $

$= \frac{1}{12}+ \frac{1}{6}- \frac{1}{8} = \frac{1}{48}$

ได้เวลากลับบ้านแล้วครับ อีก 2 กรณี พรุ่งนี้มาต่อ ยังไม่ได้ตรวจสอบว่าถูกหรือเปล่านะครับ



มาต่อครับ


กรณี $ \ \frac{1}{c} = \frac{1}{6}$ จะได้ว่า

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{c} = \frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{6} $

$= \frac{1}{4}+ \frac{1}{12}- \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$




กรณี $ \ \frac{1}{c} = \frac{1}{12}$ จะได้ว่า

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{c} = \frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{12} $

$= \frac{1}{4}+ \frac{1}{6}- \frac{1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$


ตอบ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c} = {\frac{1}{48}}, { \frac{1}{4}}, { \frac{3}{8}}$


ไม่ทราบตรงกับเฉลยหรือเปล่าครับ

เพราะดูมันแปลกยังไงชอบกลอยู่




ถ้าเทียบกลับไป $ \ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{1}{2} = \frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{3}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

$a, b, c $ น่าจะเท่ากับ $12, 6, 4 \ $ ตามลำดับ เพราะว่า $\ 19<37<53$

แต่เมื่อนำกลับไปยกกลังแล้ว มันไม่ได้ เช่น

$53^4 =7,890,481\not= 1,388,233,081$

ซึ่งกรณีแบบนี้จะนำกลับไปแทนค่าได้หรือเปล่า ก็ไม่ทราบ


ต้องรบกวนเทพทั้งหลายแล้วครับ

[meng]

ต้องขออภัยอย่างแรงและต้องขอคาราวะซือแป๋ banker ที่ยังเยี่ยมวรยุทธ์เหมือนเดิมแม้ผมจะพิมพ์โจทย์ผิดก็ยังหาคำตอบได้ เพราะพอไปแอบดูเฉลยมาจึงรู้ว่า พิมพ์ผิดครับ ที่ถูกต้อง โจทย์ต้องการให้หาค่า $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ ดังนั้นท่านจึงหาคำตอบได้ตั้งแต่บันทัดนี้แล้วครับ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$ ต้องขออภัยจริงๆ
สำหรับโจทย์ข้อนี้ผมเห็นว่าไม่สามารถหาค่า $a,b,c$ ได้เนื่องจากข้อมูลไม่พอแต่สามารถหาค่าผลรวมของส่วนกลับทั้งสามตัวได้ ซึ่งนับว่าแปลกดีและน่าคิด ส่วนวิธีหาคำตอบผมต่อยอดวิธีของซือแป๋ banker แล้วลองใช้วิธีดิบเถื่อนไม่รู้ว่าจะใช้ได้ทุกกรณีหรือไม่ $ต้องไหว้วานจอมยุทธ์ทั้งหลายช่วยชี้แนะครับ$
$$(19^a)(37^b)(53^c) = (37,259^2)^3$$
$$= 37,259^6$$
เพราะว่า$19x37x53=37,259$ $$= (19)^6(37)^6(53)^6$$
แล้วมั่วดิบๆว่า $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$$
$$=\frac{1}{2}$$ ...เหนื่อยจริงๆกว่าจะพิมพ์ LaTeX ได้เนี่ย

[Siren-Of-Step]

ถ้าเป็นกรณีลุง Banker แล้ว ต่อยังไงดีครับ

[meng]

ขอทราบวิธีคิดเทพๆ 5 ข้อ
1. ถ้า $\frac{3}{2}<2x<\frac{5}{2}$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2-2x+1} +\sqrt{x^2-6x+9}$

2. จงหาผลบวกของรากที่เป็นจริงทุกรากของสมการ $x^{256} -256^{32}=0$

3. กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริงบวก และ x+$\frac{1}{x}=k$ จงหาค่า k ที่ทำให้ $(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})^{2}=2704$

4. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $a+b=1$ และ $a^{3}+b^{3}=4$ จงหาค่าของ $a^{4}+b^{4}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

ขอทราบวิธีคิดเทพๆ 5 ข้อ
1. ถ้า $\frac{3}{2}<2x<\frac{5}{2}$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2-2x+1} +\sqrt{x^2-6x+9}$

$\sqrt{x^2-2x+1} +\sqrt{x^2-6x+9} = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x-3)^2} = (x-1)+ (x-3) = 2x -4 $

ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็ม $2x=2$ จะได้ $2-4 = -2$

(ถ้า $x$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม $2x= 1.6 $ ถึง $.....2.4 $ จะได้ $(1.6, 1.7, 1.8, ....,2.4 ) - 4 $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

2. จงหาผลบวกของรากที่เป็นจริงทุกรากของสมการ $x^{256} -256^{32}$

$x^{256} -256^{32}$ ไม่เป็นสมการ ดังนั้นจึงหารากของสมการไม่ได้




แต่ถ้า $x^{256} -256^{32} = 0$

จะได้ว่า $x^{256} = 256^{32} = (2^8)^{32} = (2)^{256}$

$x=2$