|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
14 กุมภาพันธ์ 2006, 18:21
|
||||
|
||||
ปัญหาเกี่ยวกับโอกาสครับ
ปัญหาที่ผมต้องการพิสูจน์ คือ "ถ้าเรามีสิ่งของอยู่ X สิ่ง ในจำนวนนี้มีของที่ต้องการ Y สิ่ง เลือกของมาทีละชิ้น โดยไม่ใส่คืน ค่าเฉลี่ยในการเลือกจนกระทั่งเจอของที่เราต้องการเป็นเท่าไหร่"
ผมอยากได้วิธีพิสูจน์ที่เข้าใจง่าย โดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูงน่ะครับ ขอทีละขั้นนะครับ ผมเป็นคนเข้าใจอะไรยาก 
|
|
#2
15 กุมภาพันธ์ 2006, 07:45
|
|||
|
|||
ผมหาค่าเฉลี่ยที่ต้องการได้เท่ากับ $$\large y\sum_{n=1}^{x-y+1} \frac{ {x-y \choose n-1} }{ {x \choose n} }$$ ไม่แน่ใจนะครับว่าถูกต้อง และถึงถูกก็ไม่แน่ใจว่า simplify ต่อได้หรือเปล่า รอดูคำตอบจากคนอื่นๆด้วยละกันนะครับ
|
|
#4
15 กุมภาพันธ์ 2006, 23:31
|
|||
|
|||
|
ก็แบ่งลูกบอลเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มที่ต้องการกับกลุ่มที่ไม่ต้องการ ดังนี้
$$\underbrace{Q\ Q\ \cdots\ Q}_{\text{$y\;$ตัว}}\ \ \underbrace{O\ O\ \cdots\ O}_{\text{$x-y\;$ตัว}}$$ (ให้ที่ต้องการเป็น Q ไม่ต้องการเป็น O นะครับ) เลือกมาจนกระทั่งเจอลูกที่ต้องการ สมมติว่าเลือก n ครั้ง คือครั้งที่ n หยิบได้ลูกที่ต้องการ และครั้งที่ 1 ถึง n-1 ก็จะหยิบได้ลูกที่ไม่ต้องการ ซึ่งจะได้ n = 1 , 2 ,3 , ... x - y +1 (กรณีสุดท้าย คือหยิบได้ลูกที่ไม่ต้องการ ทุกลูกเลย แล้วค่อยหยิบได้ลูกที่ต้องการ) ซึ่งจำนวนวิธีที่หยิบ n-1 ครั้ง ได้ลูกที่ไม่ต้องการหมดเลย คือ $$\LARGE P_{x-y\ ,\ n-1}$$ และ ครั้งที่ n ได้ลูกที่ต้องการ ซึ่งมีทั้งหมด y ลูก จะได้วิธีในการหยิบคือ $$\LARGE y(P_{x-y\ ,\ n-1})$$ โดยที่วิธีการหยิบทั้งหมด (ในกรณีหยิบ n ครั้ง) คือ $$\LARGE P_{x\ ,\ n}$$ นั่นคือ โอกาส ในการหยิบ n ครั้งคือ $$\LARGE \frac{ y(P_{x-y\ ,\ n-1})}{P_{x\ ,\ n}}$$ ก็อย่างที่กล่าวมาข้างต้นล่ะครับ ว่า n เป็นได้ตั้งแต่ 1 , 2 ,3 , ... x - y +1 นั่นคือเอาทุกกรณีมารวมกัน ได้ $$\Large \frac{ y(P_{x-y\ ,\ 0})}{P_{x\ ,\ 1}}+\frac{ y(P_{x-y\ ,\ 1})}{P_{x\ ,\ 2}}+ \cdots +\frac{ y(P_{x-y\ ,\ n-1})}{P_{x\ ,\ n}}$$ $$\Large =\ \sum_{n=1}^{x-y+1} \frac{ y(P_{x-y\ ,\ n-1})}{P_{x\ ,\ n}}$$ $$\Large =\ y\sum_{n=1}^{x-y+1} \frac{ P_{x-y\ ,\ n-1}}{P_{x\ ,\ n}}$$ ปล..ถึง พี่ warut ครับ ผมว่า ควรจะใช้ $\ P_{n,r}\ $ มากกว่า $\ C_{n,r}\ $ นะครับ เพราะหยิบมาทีละลูกๆ ม่ได้นำมาจัดหมู่ครับ 
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
|
|
#5
16 กุมภาพันธ์ 2006, 02:32
|
|||
|
|||
|
ที่เราต้องการหาคือค่าเฉลี่ยครับ ถ้าจับมาบวกกันเฉยๆอย่างที่น้อง R-Tummykung de Lamar ทำ มันจะเป็นผลรวมของโอกาสทั้งหมด ซึ่งก็คือ 1 นั่นเอง
$$\large y\sum_{n=1}^{x-y+1} \frac{P_{x-y, n-1}}{P_{x, n}}=1$$ แต่ค่าเฉลี่ยของจำนวนครั้งในการหยิบให้ได้ลูกที่ต้องการ จะต้องเป็น $$\sum_{n=1}^{x-y+1}nP(n)$$ เมื่อ $P(n)$ คือโอกาสที่จะต้องหยิบ $n$ ครั้งถึงจะได้ลูกที่ต้องการ และเราจะพบว่า $$\large \sum_{n=1}^{x-y+1}nP(n) = y\sum_{n=1}^{x-y+1} n\frac{P_{x-y, n-1}}{P_{x, n}}= y\sum_{n=1}^{x-y+1} \frac{ {x-y \choose n-1} }{ {x \choose n} }$$ ครับ ยังไงก็ตาม combinatorial argument ของน้อง R-Tummykung de Lamar แจ่มมากครับ  ที่ผมทำยุ่งยากกว่านี้เยอะ เสร็จแล้วค่อยใช้ algebra มา simplify อีกทีจึงได้เป็นสูตรอย่างที่เห็น โดยที่ผมไม่เข้าใจความหมายจริงๆในเชิง combinatorics ของมันหรอกครับแต่ที่น่าสนใจที่สุดน่าจะเป็นอันนี้ครับ คือผมเพิ่งใช้คอมพ์หาค่าเฉลี่ยตามสูตรที่ได้ ทำให้สังเกตเห็นว่า $$\large y\sum_{n=1}^{x-y+1} n\frac{P_{x-y, n-1}}{P_{x, n}} = \frac{x+1}{y+1}$$ แต่ยังไม่ได้ลองพิสูจน์ครับ ใครที่ว่างหรือมีความรู้เกี่ยวกับเอกลักษณ์ทางด้าน combinatorics ช่วยดูให้หน่อยนะครับ  ป.ล. ผมควรจะสังเกตเห็นได้เร็วกว่านี้มาก ถ้าผมให้คอมพ์คิดเป็นแบบ exact ไม่ใช่ numerical มาตั้งแต่ต้น 16 กุมภาพันธ์ 2006 08:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
|
|
#6
16 กุมภาพันธ์ 2006, 08:01
|
|||
|
|||
เย่ คิดออกแล้ว
 จาก $$\large y \frac{P_{x-y, n-1}}{P_{x, n}} = \frac{P_{x-y, n-1}}{P_{x, n-1}} - \frac{P_{x-y, n}}{P_{x, n}} $$ ดังนั้น $$\large y\sum_{n=1}^{x-y+1} n\frac{P_{x-y, n-1}}{P_{x, n}} = \sum_{n=0}^{x-y} \frac{P_{x-y, n}}{P_{x, n}} $$ และจาก $$\large \frac{P_{x-y, n}}{P_{x, n}} = \frac{1}{y+1} \left( \frac{P_{x-y, n}}{P_{x, n-1}} - \frac{P_{x-y, n+1}}{P_{x, n}} \right) $$ เราจึงได้ว่า $$\large \sum_{n=0}^{x-y} \frac{P_{x-y, n}}{P_{x, n}} = \frac{x+1}{y+1} $$ ตามต้องการครับ 
|
|
#8
21 กุมภาพันธ์ 2006, 21:29
|
|||
|
|||
|
$$\large \sum_{n=0}^{x-y} \frac{P_{x-y,n}}{P_{x,n}} = \frac{P_{x-y,0}}{P_{x,0}} + \left( \sum_{n=1}^{x-y-1} \frac{P_{x-y,n}}{P_{x,n}} \right)+ \frac{P_{x-y,x-y}}{P_{x,x-y}} $$
$$\large = 1+ \frac{1}{y+1} \left( \sum_{n=1}^{x-y-1} \frac{P_{x-y,n}}{P_{x,n-1}} - \frac{P_{x-y,n+1}}{P_{x,n}} \right) +\frac{(x-y)!y!}{x!} $$ $$\large =1+ \frac{1}{y+1} \left( \frac{P_{x-y,1}}{P_{x,0}} - \frac{P_{x-y,x-y}}{P_{x,x-y-1}} \right) +\frac{(x-y)!y!}{x!} $$ $$\large = 1+ \frac{1}{y+1} \left( (x-y)- \frac{(x-y)!(y+1)!}{x!} \right) +\frac{(x-y)!y!}{x!} $$ $$\large = 1+ \frac{x-y}{y+1} = \frac{x+1}{y+1} $$ 21 กุมภาพันธ์ 2006 22:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
|
|
#10
22 กุมภาพันธ์ 2006, 18:49
|
|||
|
|||
|
$$\large \frac{1}{y+1} \left( \frac{P_{x-y, n}}{P_{x, n-1}} - \frac{P_{x-y, n+1}}{P_{x, n}} \right) $$
$$\large = \frac{1}{y+1} \left( \frac{(x-y)!(x-n+1)!}{(x-y-n)!x!} - \frac{(x-y)!(x-n)!}{(x-y-n-1)!x!} \right)$$ $$\large = \frac{(x-y)!(x-n)!}{(y+1)(x-y-n-1)!x!} \left( \frac{(x-n+1)}{(x-y-n)} - 1 \right)$$ $$\large = \frac{(x-y)!(x-n)!}{(y+1)(x-y-n-1)!x!} \left( \frac{y+1}{x-y-n} \right)$$ $$\large = \frac{(x-y)!(x-n)!}{(x-y-n)!x!} = \frac{P_{x-y,n}}{P_{x,n}}$$
|
| |
|
|
