เตรียมสอบ สพฐ. 2555 เรื่องการนับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 2.

และข้อที่ 4. โดยกฎการคูณ $1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 - 8 \times 9 \times 9 \times 9 \times 1 = 4168$

พรุ่งนี้รอดูข้อสอบครับ.

คือจำนวนที่ 9 หารลงตัวทั้งหมด - จำนวนที่9หารลงตัวแต่ไม่มีเลข9ใช่ไหมครับ

ก็คือ 4หลักใส่เลขได้10ตัว หลักหมื่นใส่ได้แค่ตัวเดียวเพราะบังคับ
ตัวลบก็๋เหมือนกันแต่ต้องไม่มีเลข 9 ผมเข้าใจถูกไหมครับ

ขอบคุณมากครับ

[puppuff]

กระผมไม่เข้าใจข้อ2-4ช่วยอธิบายด้วยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

คือจำนวนที่ 9 หารลงตัวทั้งหมด - จำนวนที่9หารลงตัวแต่ไม่มีเลข9ใช่ไหมครับ

ก็คือ 4หลักใส่เลขได้10ตัว หลักหมื่นใส่ได้แค่ตัวเดียวเพราะบังคับ
ตัวลบก็๋เหมือนกันแต่ต้องไม่มีเลข 9 ผมเข้าใจถูกไหมครับ

ขอบคุณมากครับ

แม่นแล้วครับ.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ puppuff

กระผมไม่เข้าใจข้อ2-4ช่วยอธิบายด้วยครับ

ผมอธิบายวิธีคิดข้อ 3 ให้ฟังแล้วกันนะครับ โดยใช้กฎการคูณผสมกฎการบวก ซึ่งเรียกว่าเป็น ความสัมพันธ์เวียนเกิด

สมมติให้ $a_n$ แทน จำนวน ของจำนวน n หลัก ทั้งหมดที่สร้างจากเลขโดด 4, 5, 6 โดยที่ไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกัน

ดังนั้น $a_1$ ก็จะแทน จำนวน ของจำนวน 1 หลัก ทั้งหมดที่สร้างจากเลขโดด 4, 5, 6 โดยที่ไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกัน

จำนวน 1 หลักที่ไม่มี 5 อยู่ติดกันเลย มีจำนวนใดบ้าง? ก็มี 4, 5, 6 รวม 3 จำนวน
ดังนั้น $a_1 = 3$

$a_2$ จะแทน จำนวน ของจำนวน 2 หลัก ทั้งหมดที่สร้างจากเลขโดด 4, 5, 6 โดยที่ไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกัน

จำนวน 2 หลักที่ไม่มี 5 อยู่ติดกันเลย มีจำนวนใดบ้าง? ก็มี 44, 45, 46, 54, 56, 64, 65, 66 รวม 8 จำนวน (ไม่เอา 55)
ดังนั้น $a_2 = 8$

สำหรับค่าของ $a_3, a_4, a_5, ...$ เราจะไม่นั่งนับแบบนี้แล้วครับ เพราะมันเหนื่อย

=============================================
เราหา $a_n$ เลย แบ่งเป็น 3 กรณี

กรณีที่ 1. หลักซ้ายมือสุด ขึ้นต้นด้วย 4
4 _ _ _ _ _ ... _ _ (มีทั้งหมด n หลัก รวม 4 ด้วย)
ดังนั้น
ขั้นที่ 1. หลักซ้ายมือสุด จะเลือกเติมได้เพียง 1 วิธีคือ 4
ตอนนี้จะเหลืออีก n - 1 หลักที่ยังไม่ได้เติม
ขั้นที่ 2.
ทีนี้ เนื่องจากเราสมมติให้ $a_n$ แทน จำนวน ของจำนวน n หลัก ทั้งหมดที่สร้างจากเลขโดด 4, 5, 6 โดยที่ไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกัน
ดังนั้นถ้ามีหลักเหลืออยู่อีก $n-1$ หลัก ใน $n-1$ หลักนี้ ก็จะสร้างจำนวนที่ใช้แต่เลขโดด 4, 5, 6 โดยไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกันได้ $a_{n-1}$ จำนวน !! นี่คือการประยุกต์ซ้ำนั่นเองครับ

ดังนั้นโดยกฎการคูณ จำนวน n หลักในกรณีนี้ จะมีทั้งหมด $1 \times a_{n-1} = a_{n-1}$ ซึ่งก็ล้วนแต่เป็นจำนวน n หลักที่ขึ้นต้นด้วย 4 เช่น 4566456544446...

=============================================
กรณีที่ 2. หลักซ้ายมือสุด ขึ้นต้นด้วย 5
5 _ _ _ _ _ ... _ _ (มีทั้งหมด n หลัก รวม 5 ด้วย)
ขั้นที่ 1. หลักซ้ายมือสุด จะเลือกเติมได้เพียง 1 วิธีคือ 5
ตอนนี้จะเหลืออีก n - 1 หลักที่ยังไม่ได้เติม
ขั้นที่ 2.
เนื่องจาก โจทย์ห้ามมี 5 สองตัวใด ๆ ติดกัน ดังนั้น หลักต่อมาที่เติมต่อจาก 5 ก็จะเป็นไปได้เพียง 2 แบบคือ 4 กับ 6 เท่านั้น !
สรุป ตอนนี้เราจะได้จำนวน n หลักที่อยู่ในรูปแบบ
5 4 _ _ _ _ ... _ _ (มีทั้งหมด n หลัก รวม 5, 4 ด้วย) หรือ
5 6 _ _ _ _ ... _ _ (มีทั้งหมด n หลัก รวม 5, 6 ด้วย)

ขั้นที่ 3.
ตอนนี้จะเหลืออีก n - 2 หลักที่ยังไม่ได้เติม
เนื่องจากเราสมมติให้ $a_n$ แทน จำนวน ของจำนวน n หลัก ทั้งหมดที่สร้างจากเลขโดด 4, 5, 6 โดยที่ไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกัน
ดังนั้นถ้ามีหลักเหลืออยู่อีก $n-2$ หลัก ใน $n-2$ หลักนี้ ก็จะสร้างจำนวนที่ใช้แต่เลขโดด 4, 5, 6 โดยไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกันได้ $a_{n-2}$ จำนวน !!
ดังนั้นโดยกฎการคูณ จำนวน n หลักในกรณีนี้ จะมีทั้งหมด $1 \times 2 \times a_{n-2} = 2a_{n-2}$ ซึ่งก็ล้วนแต่เป็นจำนวน n หลักที่ขึ้นต้นด้วย 5 เช่น 5666456544446...


=============================================
กรณีที่ 3. หลักซ้ายมือสุด ขึ้นต้นด้วย 6
คิดคล้าย ๆ แบบกรณีที่ 1 คือ จะมีทั้งหมด $1 \times a_{n-1} = a_{n-1}$ จำนวน

รวม 3 กรณี ก็จะได้ว่า $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2} + a_{n-1} = 2a_{n-1}+2a_{n-2} = 2(a_{n-1} + a_{n-2})$

ดังนั้น
$a_3 = 2(a_2 + a_1) = 2(3+8) = 22$
$a_4 = 2(a_3 + a_2) = 2(22+8) = 60$
$a_5 = 2(a_4 + a_3) = 2(60+22) = 164$
$a_6 = 2(a_5 + a_4) = 2(164+60) = 448$

สมมติว่าถ้าอ่านเข้าใจ ก็ลองคิดข้อนี้ดูเล่น ๆ ครับ

ข้อ 3.1 จงหาว่าจะมีจำนวนหกหลักทั้งหมดกี่จำนวนที่สร้างจากเลขโดด ‘3’, ‘4’, ‘5’ และ ‘6’ เท่านั้น โดยที่ห้ามมี ‘5’ สองตัวใด ๆ ติดกัน

[computer]

ข้อ3.1 ตอบ 1841 หรือเปล่าคะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

ข้อ3.1 ตอบ 1841 หรือเปล่าคะ

มากกว่านั้นครับ สามพันกว่า ๆ

[gon]

ผมมาเติมปัญหาให้ สำหรับท่านที่ชอบการนับนะครับ.

ข้อ 5. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทุุกรูปต่อไปนี้ แต่ละช่องเล็กสุดจะกว้างเท่า ๆ กัน

จงหาว่าจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดกี่รูป ถ้ามีส่วนที่แรเงามาซ้อนก็จะไม่นับนะครับ.

หมายเหตุ ปัญหาเรียงจากง่ายไปหายาก

5.1

5.2

5.3

[polsk133]

ข้อยากสุดได้115รึเปล่าครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ข้อยากสุดได้115รึเปล่าครับ

มีดเดียวไม่พลาดเป้า !

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ข้อยากสุดได้115รึเปล่าครับ

ผมได้ 135 115

1x1 = 56
2x2 = 31

3x3 = 22

4x4 = 12

5x5 = 8

6x6 = 1
7x7 = 4

8x8 = 1



รวม 56+31+22+12+8+1+4+1 = 135

ขออภัย

โจทย์กำหนด "ถ้ามีส่วนที่แรเงามาซ้อนก็จะไม่นับนะครับ"

ดังนั้น
3x3 ต้อง - 4
4x4 ต้อง - 4
5x5 ต้อง - 6
6x6 ต้อง - 1
7x7 ต้อง - 4
8x8 ต้อง - 1

รวม ลบออก 20 เหลือ 135 - 20 = 115

[gon]

ข้อ 5.3 วิธีคิดของผมนะครับ.

$1 \times 1 : $ มีทั้งหมด $8 \times 8 - 2 \times 2 \times 2 = 56$
$2 \times 2 : $ มีทั้งหมด $7 \times 7 - 3 \times 3 \times 2 = 31$
$3 \times 3 : $ มีทั้งหมด $6 \times 6 - 3 \times 3 \times 2 = 18$
$4 \times 4 : $ มีทั้งหมด $5 \times 5 - 3 \times 3 \times 2 + 1 = 8$
$5 \times 5 : $ มีทั้งหมด $4 \times 4 - 3 \times 3 \times 2 + 2 \times 2 = 2$

เฉลยเพิ่มข้อ 3.1 : ตอบ 3,105

$a_n = 3(a_{n-1} + a_{n-2}) , a_1 = 4, a_2 = 15$

ดังนั้น $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 = 4, 15, 57, 216, 819, 3105$

[polsk133]

ผมใช้วิธี

ดูรูปสีเขียวก่อน สองรูปรวมกันได้ $2(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)$

รูปสีแดงคือส่วนที่ซ้ำนับได้ $1^2+2^2$

แล้วรวมรูปสีฟ้าอีก10รูป

เป็น $110-5+10=105$

[banker]

งั้นวิธีทำข้อ 5.2 ก็ลอกวิธีคุณpolsk133 ก็แล้วกัน



สีเขียว + สีฟ้า - สีแดง = $2(1^2+2^2+3^2+4^2) - (1^2+2^2) = 55$

[banker]

1x1 = 21

2x2 = 7

รวม 28

[gon]

คำตอบของคุณ Banker ตรงกับที่ผมคิดไว้หมดนะครับ.

วิธีคิดของคุณ polsk133 ใช้ความสมมาตรได้อย่างลื่นไหลดีทีเดียว

ที่จริงแล้ว 3 ข้อนี้ผมตั้งโจทย์โดยซ่อนความฮาของปีขำ ๆ ปีนี้ไว้อยู่

ข้อ 5.1 เป็นตาราง 5 คูณ 5 หรือ 55 นั่นเอง
ข้อ 5.2 เป็นตาราง 6 คูณ 6 ก็จริง แต่คำตอบคือ 55
ข้อ 5.3 คำตอบคือ 115 ซึ่งหมายถึง 55555555555 อันนี้ขำยาว

ข้อปิดท้ายหัวข้อนี้ ก่อนสอบปีนี้ด้วยคำถามสุดท้ายนี้คือ

จงหาว่าจะมีจำนวนห้าหลักทั้งหมดกี่จำนวน ที่สร้างจากเลขโดด '4', '5' และ '6' โดยที่ห้ามมี '4' สองตัวใด ๆ ติดกัน และห้ามมี '6' สองตัวใด ๆ อยู่ติดกัน

ถ้าท่านใดสนใจก็ลองคิดดูได้นะครับ.

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ถ้าท่านใดสนใจก็ลองคิดดูได้นะครับ.

สนใจครับ แต่ยังหาวิธีทำไม่ได้

แต่กะๆดู จำนวนห้าหลัก ที่ว่าน่าจะน้อยกว่าครึ่ง

คุณ gon ชอบเลข '5' อาจเป็น 55 หรือ 55+55 ก็ได้ 55555

ข้อนี้น่าจะยากสำหรับเด็กประถม เดี๋ยวลองมั่วๆดูครับ

ลองดู 2 กรณีก่อน
ไม่รู้ว่า ใน 2 กรณีนี้ครบหรือยัง

(ยังมีกรณีขึ้นต้นด้วย 5 อีก)


มาดูอีกที

ตามหลัง 5 วางได้ 3 ตัว คือ ทั้ง 4-5-6

ดังนั้นข้างบนน่าจะผิดซะแล้ว

เดี๋ยวคิดดูใหม่ครับ


เอาใหม่ วาดต้นไม้ดีกว่า




ขึ้นต้นด้วย 4 มี 29 จำนวน
ขึ้นต้นด้วย 6 มี 29 จำนวน
ขึ้นต้นด้วย 5 มี 41 จำนวน

รวม 99 จำนวน เลขสวย ไม่รู้นับครบหรือยัง


ท่านอื่นมีวิธีอื่นที่สั้นกว่านี้ไหมครับ