ผลบวกของ C

[kanji]

สำหรับทุก $n\in\mathbb{N}$ ผลบวกต่อไปนี้มีค่าเท่าไร
1. $\left(\,^n_0\right)+\left(\,^n_3\right)+\left(\,^n_6 \right)+\cdots$

2.$\left(\,^n_1\right)+\left(\,^n_4\right)+\left(\,^n_7 \right)+\cdots$

3.$\left(\,^n_2\right)+\left(\,^n_5\right)+\left(\,^n_8 \right)+\cdots$

[nooonuii]

ให้
$$a_n = \left(\,^n_0\right)+\left(\,^n_3\right)+\left(\,^n_6 \right)+\cdots$$
$$b_n= \left(\,^n_1\right)+\left(\,^n_4\right)+\left(\,^n_7 \right)+\cdots$$
$$c_n= \left(\,^n_2\right)+\left(\,^n_5\right)+\left(\,^n_8 \right)+\cdots$$

และ $\omega = \cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}$ เป็นรากที่สามของ $1$
โดยทฤษฎีบททวินามเราจะได้ว่า

$(1+\omega)^n=a_n+b_n\omega+c_n\omega^2$

$\quad\quad\quad\quad = a_n+(b_n+c_n)\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i(b_n-c_n)\sin{\dfrac{2\pi}{3}}$

แต่ $\omega$ เป็นรากของสมการ $x^2+x+1=0$
ดังนั้น $1+\omega=-\omega^2$
$(1+\omega)^n=(-1)^n\omega^{2n}=(-1)^n\cos{\dfrac{4n\pi}{3}}+i(-1)^n\sin{\dfrac{4n\pi}{3}}$

เราจึงได้ว่า

$a_n+(b_n+c_n)\cos{\dfrac{2\pi}{3}}=(-1)^n\cos{\dfrac{4n\pi}{3}}$

$(b_n-c_n)\sin{\dfrac{2\pi}{3}}=(-1)^n\sin{\dfrac{4n\pi}{3}}$

แต่จากทฤษฎีบททวินามเราทราบว่า

$a_n+b_n+c_n=2^n$

แก้ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรแล้วจัดรูปจะได้

$a_n=\dfrac{1}{3}\Big(2^n+2(-1)^n\cos{\dfrac{4n\pi}{3}}\Big)$

$b_n=\dfrac{1}{3}\Big(2^n+2(-1)^n\cos{\dfrac{(4n-2)\pi}{3}}\Big)$

$c_n=\dfrac{1}{3}\Big(2^n+2(-1)^n\cos{\dfrac{(4n+2)\pi}{3}}\Big)$

[kanji]

สุดยอดมากครับ
ถ้าเป็น
$\left(\,^n_0\right)+\left(\,^n_4\right)+\left(\,^n_8\right)+\cdots$
$\left(\,^n_1\right)+\left(\,^n_5\right)+\left(\,^n_9\right)+\cdots$
$\left(\,^n_2\right)+\left(\,^n_6\right)+\left(\,^n_{10}\right)+\cdots$
$\left(\,^n_3\right)+\left(\,^n_7\right)+\left(\,^n_{11}\right)+\cdots$

จะเริ่มคิดยังไงครับ

อันแรกผมใช้การสังเกตเอาครับ จนได้

[nooonuii]

ถ้าเป็นสี่ชุดก็เลือก primitive $n$th root of unity $\omega$ มาตัวนึงซึ่งทำให้

$(1+\omega)^n=a_n+b_n\omega+c_n\omega^2+d_n\omega^3$

นั่นคือเลือก primitive $n$th root of unity ที่มัน generate cyclic group order $4$ ซึ่งเลือกเอารากที่ $8$ ของ $1$ มาใช้ได้ครับ (รากที่สี่ใช้ไม่ได้เพราะพวกนี้ generate cyclic group ได้แค่ order 2 เท่านั้นครับ)