combinatorics

[tana]

combinatorics นี่หมายความว่าอะไรเหรอครับ ( ขอแบบชัดเจนหน่อยน่ะครับ ) แล้วหัวข้อในตัวมันมีเรื่องอะไรบ้างอ่ะครับ ( แบบครอบคลุมเลยนะครับ ) แล้วมันเป็นวิชาหนึ่งเลย หรือ เป็นเพียงส่วนหนึ่งของวิชาอะไรรึเปล่าครับ

[gon]

พี่ก็ไม่รู้หรอกครับ. ว่าจริง ๆ หมายความว่าอย่างไร เคยเขียนไว้ในหน้าแรกของ http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra08p01.shtml ลองอ่านดู

[tana]

ถ้าเป็นตามที่พี่เขียนไว้ อย่างนี้ combinatorics กับ discrete mathematics ก็เป็นวิชาเดียวกันสิครับ เหมือนอย่างในหนังสือภิณทนคณิตศาสตร์ ของ อ.สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล

combinatorics ไม่ใช่ mathematics ครับ
เป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งเท่านั้น

combinatorics จะเกี่ยวกับการนับครับ ซึ่งมักจะเป็น discrete math
ซึ่งไม่ได้หมายความว่าจะเป็นแค่จำนวนเต็มนะครับ
ลองสังเกตดูได้ว่าเราไม่พบว่าความน่าจะเป็นที่มีค่าเป็นอตรรกยะเลย
อะไรประมาณนั้นอะครับ
(แต่ถ้าเป็นบางทฤษฎีก็เกี่ยวข้องนัครับ แบบว่าบอกไม่ถูก เพราะ math ก็ไม่ได้แยกกันอย่างชัดเจน ยังคงต้องพึ่งพากันอยู่ครับ)

ลองดูราบละเอียดที่นี่ได้ครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics http://mathworld.wolfram.com/Combinatorics.html

แนะนำเวป wikipedia.com หรือ mathworld.wolfram.com
ในการหาข้อมูลเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เบื้องต้นครับ

[M@gpie]

โอว..... เพิ่งเข้าใจที่พี่ gon เขียนหลังจากได้เรียน Difference Equation
555 แต่มีเรื่องที่จะถามคือ
1.ทำไมต้องสมมติ xⁿ
แล้วเวลาเราแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว
2.ทำไมต้องสมมติ y=e^mx ด้วยล่ะครับ
เห็นอาจารย์บอกว่ามันคือ ไอเกนฟังก์ชัน ขอเชิญผู้รู้ ช่วยขยายความหน่อยคับ
3.เรามีวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวแปร โดยไม่ใช้ series solution รึเปล่าคับ

[TOP]

1) ทำไมต้องสมมติ xⁿ ?
วิธีแก้ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดจริงๆ คงต้องเริ่มศึกษาจากฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating Function) ซึ่งพี่ก็ไม่ได้ศึกษามากนัก แต่จะยกตัวอย่างสั้นๆ กรณีนำมาใช้แก้ความสัมพันธ์ที่เป็นลำดับฟิโบนักชีให้ดูอีกครั้ง (เคยกล่าวถึงวิธีนี้แล้ว ในบทความเรื่อง อนุกรมอนันต์)

เราจะสมมติว่ามีฟังก์ชัน F(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +a₃x³ + a₄x⁴ + ... ภายใต้เงื่อนไขหนึ่ง
โดยที่ a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n, ... ตรงกับลำดับที่ทำให้ ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเป็นจริง
เนื่องจากลำดับฟิโบนักชี มีความสัมพันธ์เวียนบังเกิดคือ a_n = a_n-1 + a_n-2 โดย a₀ = 1, a₁ = 1
และหากสัมประสิทธิ์ของ F(x) เป็นลำดับที่ทำให้ ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดนี้เป็นจริง จะได้ว่า
F(x) = x*F(x) + x²*F(x) + 1
ลองสังเกตดูนะครับว่า การคูณ F(x) ด้วย xⁿ ทำให้สัมประสิทธิ์ของ x กำลังใดๆเลื่อนลำดับขึ้นไป n ลำดับ ด้วยเหตุนี้ที่ค่า x กำลังเดียวกัน สัมประสิทธิ์ของ xⁿ*F(x) จึงเทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์ ย้อนหลังไป n ค่าของ F(x)
นอกจากนี้เราต้องบวกค่า 1 เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของ x⁰ ถูกต้อง

ดังนั้นจะได้ F(x) =

1 1 - x - x2

=

1 (1 - Ax) (1 - Bx)

=

1 ึ5

ๆ ็ ็ ่

A 1 - Ax

-

B 1 - Bx

๖ ๚ ๚ ๘

โดย A =

1 + ึ5 2

, B =

1 - ึ5 2

และเนื่องจาก

1 1 - cx

= 1 + cx + c2x2 + c3x3 + ... โดย |cx| < 1

เราจึงเขียน F(x) แบบแจกแจงสัมประสิทธิ์ได้อย่างง่ายๆคือ

F(x) =

ฅ S n = 0

1 ึ5

ๆ ็ ่

An+1 - Bn+1

๖ ๚ ๘

xn

และค่าสัมประสิทธิ์ของ xⁿ ใดๆ ก็คือลำดับฟิโบนักชีตัวที่ n นั่นเอง

ลองนำวิธีนี้ไปใช้กับ ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเอกพันธุ์เชิงเส้น ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่ จะพบว่า สุดท้ายแล้ว F(x) จะเขียนได้ในรูปเศษส่วนย่อยเสมอ จึงได้ผลเฉลย a_n อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ rⁿ ต่างๆเท่านั้น ด้วยเหตุนี้การหาค่า r ทั้งหมดโดยง่าย คือให้เราแทนค่า a_n = rⁿ แล้วแก้สมการหา r ทั้งหมดออกมา ตามวิธีที่ได้เรียนมา แล้วนำทั้งหมดมา สังเคราะห์เป็นผลเฉลยที่สมบูรณ์อีกครั้ง

2) หากเราสังเกตผลเฉลยของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นดีกรี 1 คือ
y' + ay = 0 จะพบว่า ผลเฉลยคือ y = c₁e^-ax
ดังนั้นเราอาจตั้งข้อคาดเดาไว้ว่า ที่ดีกรีสูงกว่านี้จะมีผลเฉลยในรูปนี้เช่นกัน จึงสมมติว่าผลเฉลยย่อยคือ y = e^mx ไปก่อน หลังจากหาค่า m ทั้งหมดได้แล้วค่อยมาดูกันอีกที ว่ารูปแบบทั้งหมดเป็นอะไรได้บ้าง รูปแบบจะเพิ่มขึ้นเมื่อพบค่า m ซ้ำกัน รูปแบบที่เพิ่มขึ้นหาได้ด้วยวิธี "หาผลเฉลยถัดไป จากผลเฉลยเดิมที่รู้" สุดท้ายได้หลักการง่ายๆมาคือ คูณด้วย x ซ้ำเข้าไป ตามที่ได้เรียนมา ส่วนสาเหตุที่เรียกผลเฉลยย่อยทุกตัวว่าเป็น ไอเกนฟังก์ชัน ก็เพราะมันเป็นอิสระต่อกันแบบเชิงเส้นทั้งหมด และทั้งหมดรวมกันแบบเชิงเส้น จะเป็นผลเฉลยที่สมบูรณ์ทั้งหมด

3) วิธีแก้ที่ใช้ได้ทั่วไปคงไม่มีครับ คิดว่าใช้อนุกรมอนันต์ครอบคลุมทั้งหมดแล้ว (แต่มันก็ไม่น่าใช้เอาซะเลย )

combinatorics เป็นวิชาว่าด้วยการนับ การจัดเรียง และ การแบ่งกลุ่ม บนเซตจำกัด จัดอยู่ในวิชาจำพวก Discrete mathematics ครับ วิชาที่เกี่ยวโยงกันกับ Combinatorics ก็มีพวก Graph theory, Number theory บางส่วน หรือ ทฤษฎีความน่าจะเป็นบางส่วน ซึ่งบางครั้งเขาก็รวมเอาพวกนี้เข้าไปอยู่ใน Combinatorics ด้วย ผมชอบเรียก "คณิตศาสตร์จับฉ่าย" เพราะว่ามันไปโยงใยอยู่ในวิชาอื่นเยอะ ถ้าเป็นอะไรที่เกี่ยวกับการนับแบบจำกัดเราก็นึกถึงวิชานี้ก่อนเลย

ทำไมเวลาแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นจึงต้องสมมติเป็น e^mx? อันนี้อยู่ใน Linear Algebra น่ะครับ คร่าวๆคือ เซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์จะมีคุณสมบัติทางพีชคณิตที่เรียกว่า Vector space ครับ ซึ่งเราจะมีแนวคิดเกี่ยวกับ eigenvalue eigenvector(eigenfunction) ส่วนการดำเนินการที่เรียกว่า การหาอนุพันธ์ นั้นจะมีคุณสมบัติทั่วไปที่เรียกว่า การแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation) แต่ในเรื่องนี้เราจะเรียกว่า Differential operator ครับ ลองไปหาอ่านดูครับผมจำไม่ได้เสียแล้ว

การแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นก็ทำนองเดียวกันครับ จริงๆแล้วความสัมพันธ์เวียนเกิดกับสมการเชิงอนุพันธ์คือสิ่งเดียวกันครับ(เชื่อหรือไม่?) โดยความสัมพันธ์เวียนเกิดจะกล่าวถึงฟังก์ชันบนเซตของจำนวนนับ(discrete) ในขณะที่สมการเชิงอนุพันธ์จะกล่าวถึงฟังก์ชันบนเซตของจำนวนจริง(continuous)

ส่วนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้นนั้นเราเอาคุณสมบัติที่ว่า ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับ(infinitely differentiable function) จะเขียนแทนด้วยอนุกรมเทย์เลอร์ได้เสมอมาใช้น่ะครับ ซึ่งเป็นเพียงวิธีการหนึ่งเท่านั้น สมการแบบนี้จะไม่มีรูปแบบที่แน่นอนในการหาคำตอบ (เหมือนกับการแก้สมการพีชคณิตแบบไม่เชิงเส้นนั่นแหละครับ) แต่ยังมีวิธีการอื่นๆให้หาคำตอบได้อีกนะครับ เช่น การแปลงลาปลาซ(Laplace transform) การแปลงฟูเรียร์(Fourier transform) Distribution และ numerical method เป็นต้น

[gon]

มีคนช่วยตอบให้แล้วครับ. Nooonuiii นี่เขาเรียนมาทางเลขโดยตรงเหมือนกัน ส่วนพี่ไม่ค่อยจะรู้จริงเท่าไร เพราะไม่ได้เรียนมาโดยตรงด้วย เส้นเชื่อมของวิชาต่าง ๆ มองไม่ค่อยจะเห็น อย่าง Cal นี่ตอนนี้แทบจะเป็นศูนย์ครับ. หายเกือบหมด ไม่ได้ใช้ สมัยเรียนอาจารย์ท่านก็ไม่ได้เน้นพิสูจน์ด้วย อันไหนที่พอตอบได้ก็จะพยายามตอบให้ได้