|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ขอวิธีพิสูจน์โจทย์ ห.ร.ม ค.ร.น ครับ
จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้
1. $(a,b) = (a,b+ax);x\in \mathbb{I} $ 2. ถ้า$(a,b) = [a,b]$ แล้ว $a = b$ 3. ถ้า$a\mid b$ และ $b\mid c$ และ$(a,b) = 1$ แล้ว $ab\mid c$ 4. ถ้า P เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p\nmid a$ ก็ต่อเมื่อ $(p,a) = 1$ 5. ถ้า $d = ([a,b],c)$ และ $m = (\frac{ab}{(a,b,c)},c)$ แล้ว $d\mid m$ |
#2
|
||||
|
||||
แนวคิด ข้อ 1
ข้อ 1 ให้ d=(a,b) และ d'=(a,b+ax)
จาก d'=(a,b+ax) จะได้ว่า d'|a และ d'|b+ax ทำให้ d'|(b+ax)-ax หรือ d'|b จาก d'|a และ d'|b จะได้ว่า $\quad d'\leqslant d$ จาก d|a และ d|b ทำให้ d|b+ax จะได้ว่า $\quad d\leqslant d'$ ดังนั้นทำให้ $\quad d'\leqslant d\quad $ และ $\quad d\leqslant d'\quad$ หรือ d=d' นั่งเอง |
#3
|
||||
|
||||
แนวคิด ข้อ 3
ข้อ 3
จาก b|c ได้ c=bm จาก a|b และ b|c ทำให้ a|c ด้วย หรือ c=an และจาก (a,b)=1 จะได้ 1=ax+by คูณ c ได้ c=acx+bcy แทนค่า c ได้ c=abmx+bany c=ab(mx+ny) หรือ ab|c |
#4
|
|||
|
|||
ข้อ1อีกวิธีผมลองทำไม่ทราบว่าถูกรึปล่าว
ขาไป
จาก (a,b+ax) จะได้ว่า $d\mid a$ และ $d\mid b+ax$ จะได้ $dA = a , dB = b+ax$ จากนั้นแทนค่า a จะได้ว่า dB = b+dAx dB-dAx = b d(B-Ax) = b จะได้ว่า $d\mid a และ d\mid b$ ---------------------------------------------------- ขากลับ จาก (a,b) จะได้ว่า $d\mid a และ d\mid b$ ;$d\in \mathbb{I} $ จะได้$dA=a และ dB=b$ ;$A,B\in \mathbb{I} $ จาก $d\mid bจะต้องแสดงว่า d\mid b+ax$ จาก $d \mid b$ จะได้ $dB=b$ บวกด้วย ax $dB+ax = b+ax$ แทนค่า a จะได้ $dB+dAx = b+ax$ $d(B+Ax) = b+ax$ ดังนี้น $D\mid b+ax$ ---------------------------------------------------- ดังนั้น $(a,b) = (a,b+ax)$ (แก้แล้วนะครับไม่รู้ถูกรึยังอ่าครับ) 10 สิงหาคม 2012 16:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ amaze-man เหตุผล: เขียนผิด |
#5
|
|||
|
|||
ข้อ2
ถ้า (a,b) = [a,b] แล้ว a = b
จาก (a,b) และ [a,b] จะได้$d\mid a และ d\mid b$ จะได้$a\mid d และ b\mid d$ เนื่องจาก $d\mid a$ และ $a\mid d$ ดังนั้นa=d เนื่องจาก $d\mid b$ และ $b\mid d$ ดังนั้นb=d ดังนั้น a=b |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ
|
#7
|
|||
|
|||
เหอๆๆ
ข้อ 4 กับ 5 นี่ไปไม่เป็นเลยครับ
ไม่ทราบว่าจะมีจอมยุทธท่านใดชี้แนะได้บ้าง 07 สิงหาคม 2012 04:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ amaze-man เหตุผล: พิมพ์ผิด |
#8
|
||||
|
||||
ข้อ 4 ขากลับ ลองเขียน $a$ ในรูป $kp+r$ ($\exists k r \in \unicode{8469} $) (รูป Division Algorithm)
แล้วจะได้ว่า $r\not= 0$ จากโจทย์ ทำให้ $p\nmid r$ ส่งผลต่อให้ $p\nmid kp+r$ หรือ $p\nmid a$ นั่นเองครับ ขาไป ให้ $d = (a,p)$ จะได้ว่า $d|p$ และ $d|a$ มี 2 กรณีคือ $d=1$ และ $d=p$ ถ้า d=p จะได้ $p|a$ ข้ดแย้งกับโจทย์ ดังนั้น $d=1$ |
#9
|
|||
|
|||
เยี่ยมครับ
อ้างอิง:
|
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
1. d|a and d|b เรียก d ว่า เป็นตัวหารร่วม ครับ ไม่ใช่ ห.ร.ม 2. แต่ถ้าพิสูจน์ได้ว่า มี c|a and c|b และ c|d (c$\leqslant $d) จึงสามารถสรุปได้ว่า d เป็น หรม. ครับ |
#11
|
||||
|
||||
4.ขาไป ชัดเจน อยู่แล้ว
ขากลับ อาจจะเขียน $ax+py =1 $สำหรับ บาง จำนวนเต็ม $x,y$ นะครับ |
#12
|
||||
|
||||
ข้อ 4 ขากลับก็ชัดเจนอยู่นะครับ
ใช้ contrapositive ให้ $p|a$ แล้วพิสูจน์ว่า $(p,a) \not= 1$ ข้อ 5 พิสูจน์ได้โดยไม่ยากว่า $[a,b]|\dfrac{ab}{(a,b,c)}$ และจาก $d|[a,b]$ จะได้ $d|\dfrac{ab}{(a,b,c)}$ และจาก $d|c$ ก็จะได้โดยไม่ยากว่า $d|(\dfrac{ab}{(a,b,c)},c)$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เอิ่ม ผมงงว่า ทำไมสามารถแทน $[a,b] ด้วย \dfrac{ab}{(a,b,c)}$ ได้ครับ เหมือนมันมีเป็น ทฤษฎี หรือ ปล่าว ครับ |
|
|