Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 07 พฤษภาคม 2016, 09:34
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default Practice Test

Practice Test ที่เอาให้น้องศูนย์ มข. ทำครับ
ถ้าใครรู้แหล่งที่มาอย่าพึ่งเอาลงนะครับ
เฉลยได้

1. ให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน $9$ จำนวน ซึ่งทุกจำนวนมีจำนวนเฉพาะที่หารลงตัวได้เพียง $2$ และ $3$ จงพิสูจน์ว่าจะสามารถเลือกจำนวนเต็มที่แตกต่างกันสามจำนวนจาก $S$ ซึ่งทำให้ผลคูณของทั้งสามจำนวนเป็นกำลังสามสมบูรณ์

2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดให้ $[r]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $r$

3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง $\angle BAC \neq 90^{\circ}$ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ และ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $BOC$ ถ้า $\Gamma$ ตัดส่วนของเส้นตรง $AB$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $B$ ) ที่ $P$ และตัดกับส่วนของเส้นตรง $AC$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $C$ ) ที่ $Q$ ถ้า $ON$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ $\Gamma$ จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $APNQ$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

4. ในงานเลี้ยงปีใหม่มีผู้เข้าร่วม $n+1$ คน (หมายเลขตั้งแต่ $1,2,3,...,n+1$ ) กำลังแลกของขวัญ ถ้าไม่มีใครให้ของขวัญคนเดียวกัน และคนหมายเลข $i$ ให้ของขวัญกับคนหมายเลข $x_i$ และเราทราบว่าคนที่หมายเลข $n+1$ ให้ของขวัญกับคนที่หมายเลข $1$, หลังจากแลกของขวัญเสร็จคนที่ $i$ จะได้แต้มเท่ากับ $x_i-i$ จงพิสูจน์ว่าสำหรับ $r \in \mathbb{Z}$, $1 \le r \le n$ จะสามารถเลือกคน $r$ คนซึ่งมีแต้มรวมอย่างน้อย $r$

5. นิยามลำดับ $(a_n),n \in \mathbb{N}$ ดังนี้
$ \quad a_1=1,a_2=2,a_3=3$ และ $a_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-2}+7}{a_{n-3}}$ . สำหรับ $n \ge 4$
จงพิสูจน์ว่าทุกพจน์ของลำดับนี้เป็นจำนวนเต็ม

Sources: 1,2,3 APMO ประมาณปี 2007-2011 ข้อ 1-2, 4 แต่งเอง, 5 unknown
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

13 พฤษภาคม 2016 19:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 07 พฤษภาคม 2016, 10:26
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post

3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง $\angle BAC \neq 90^{\circ}$ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ และ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $BOC$ ถ้า $\Gamma$ ตัดส่วนของเส้นตรง $AB$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $B$ ) ที่ $P$ และตัดกับส่วนของเส้นตรง $AC$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $C$ ) ที่ $Q$ ถ้า $ON$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ $\Gamma$ จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $APNQ$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ลาก $PO,QO$ จะได้ว่า $APO=OQA$ เพราะรองรับส่วนโค้งที่เท่ากัน ( $BO=OC$ )

ดังนั้น $APN=90^\circ+APO=90^\circ+OQA=NQA...(m)$

เเละเนื่องจาก $BPNO$ และ $OCQN$ เป็นสี่เหลี่ยมเเนบในวงกลมดังนั้น $ABO=ONP$ เเละ $ACO=ONQ$ ตามลำดับ

พิจารณาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABO,AOC$ จะได้ $PAQ=BAC=BAO+OAC=ABO+ACO=ONP+ONQ=PNQ...(n)$

จาก $(m),(n)$ ได้ว่า $APNQ$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 07 พฤษภาคม 2016, 23:59
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
4. ในงานเลี้ยงปีใหม่มีผู้เข้าร่วม $n+1$ คน (หมายเลขตั้งแต่ $1,2,3,...,n+1$ ) กำลังแลกของขวัญ ถ้าไม่มีใครให้ของขวัญคนเดียวกัน และคนหมายเลข $i$ ให้ของขวัญกับคนหมายเลข $x_i$ และเราทราบว่าคนที่หมายเลข $n+1$ ให้ของขวัญกับคนที่หมายเลข $1$, หลังจากแลกของขวัญเสร็จคนที่ $i$ จะได้แต้มเท่ากับ $x_i-i$ จงพิสูจน์ว่าสำหรับ $r \in \mathbb{Z}$, $1 \le r \le n$ จะสามารถเลือกคน $r$ คนซึ่งมีแต้มรวมอย่างน้อย $r$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 09 พฤษภาคม 2016, 00:28
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ข้อ 4 วิธีสวยมากครับ
ข้อนี้คาดว่าจะยากสำหรับระดับ TMO อยู่

ตอนนี้เหลือข้อ 1,2 (ไม่ยากขนาดนั้น) แล้วก็ข้อ 5 (ยากอยู่)
มาลองทำกันนะครับ
(ข้อ 3 ไม่มีอะไรอยู่แล้ว)
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 09 พฤษภาคม 2016, 21:26
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post

2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดให้ $[r]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $r$

ข้อไม่ยากของคุณ Thgx0312555 ผมทำเป็นชั่วโมง 5555
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 10 พฤษภาคม 2016, 00:04
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ข้อสองคิดว่าไอเดียไม่ยากขนาดนั้นนะครับ แต่ต้องมีประสบการณ์นิดหน่อย
แต่ข้อหนึ่งนี่ก็มีความยากอยู่ครับ 555

ปล. ข้อสองถูกแล้วครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 14 พฤษภาคม 2016, 23:00
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

ขอ hint ข้อ 1 กับ 5 หน่อยครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 15 พฤษภาคม 2016, 09:23
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

Hint ข้อ 1 จริงๆข้อนี้เป็นข้อที่แยกกรณีถึกๆยังไงก็น่าจะออก
แต่หลักๆคือพิสูจน์ว่าในเซตของมอดุโล $\left\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)\right\}$ ถ้ามีอย่างน้อย 5 ตัวไม่เป็นเซตว่างแล้วจะมีสามตัวคูณกันได้กำลังสามสมบูรณ์

ข้อ 5 พิสูจน์ก่อนว่า $a_{n-3}(a_n+a_{n-2})=a_{n-1}(a_{n-2}+a_{n-4})$ แล้ว induction ว่า $a_{n-1} \mid a_{n}+a_{n-2}$ (อาจจะพ่วงเงื่อนไขอื่นๆลงใน induct เพื่อให้ทำง่ายขึ้นก็ได้ครับ)
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

15 พฤษภาคม 2016 09:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
GEO Practice จูกัดเหลียง เรขาคณิต 5 03 มกราคม 2013 15:40
ข้อสอบ PRE-TEST เข้ามหิดลของบัณฑิตแนะแนว Cachy-Schwarz ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 13 25 มกราคม 2012 14:46

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:43


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha