โจทย์ครับ

[Anonymous314]

1.จงหา $x,y$ ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2 $

2.จงพิสูจน์ว่าตัวเลข $19^{1976} + 76^{1976} $
i) จะหารด้วย $2^{2^4 } + 1$ ลงตัว
ii) จะมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่แตกต่างกัน 4 จำนวนที่หารลงตัว นอกเหนือจาก $2^{2^4 } + 1$

3.จงหาจำนวนเต็ม $a$ , $b$ ที่สอดคล้อง
$7a + 14b = 5a^2 + 5ab + 5b^2 $

4.จงหา $(x,y)$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการ
$x^3 - y^3 = 2xy + 8$

ช่วยหน่อยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

3.จงหาจำนวนเต็ม $a$ , $b$ ที่สอดคล้อง
$7a + 14b = 5a^2 + 5ab + 5b^2 $

Hint:

จัดรูปเป็นสมการกำลังสองในตัวแปร $b$
จากนั้นใช้คุณสมบัติที่ว่า Discriminant $\geq 0$
หาขอบเขตของ $a$

[owlpenguin]

2.ได้แค่ส่วนแรกครับ

Solution part 1:

$19^{1976}+76^{1976}=19^{1976}(1+4^{1976})$
$=19^{1976}(1+2^{16x19x13})$
ดังนั้นเห็นได้ชัดว่า $2^{2^{4}}+1=2^{16}+1|2^{16x19x13}+1$ เคลียร์ข้อ a) ไปข้อนึง
แต่ข้อ b) นี่... สุดๆ ยังคิดไม่ออก
ที่ได้ก็แค่ว่ามี $19$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวนึงแน่ๆ แล้วก็มี $2^{16x19}+1, 2^{16x13}+1$ เป็นตัวประกอบของ $19^{1976}+76^{1976}$ แน่ๆ โดยที่ 19 หาร $2^{16x19}+1, 2^{16x13}+1$ ไม่ลงตัวทั้งคู่

[dektep]

นี่เป็นโจทย์ IMO Longlist ไม่ใช่เหรอครับ

[Art_ninja]

ข้อ 4
กำหนดให้ $x,y \in \mathbb{Z} $
ซึ่ง $x^3 - y^3 = 2xy + 8$
จัดรูปใหม่จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)$
โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $x,y \geq 0$ และ $x>y$
ดังนั้น $x-y\geq 3,x-y=2,x-y=1,x=y$
กรณี $1$ $x-y\geq 3$
จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)\geq 7y^2+21y+27$
ซึ่งไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ $0$
กรณี $2$ $x-y=2$
จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)= 4y^2+8y+8$
ซึ่งจะได้ว่า $y=0$ และ $x=2$
กรณี $3$ $x-y=1$
จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)= y^2+y+1$
ซึ่งไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
กรณี $4$ $x=y$
จะได้ว่า $2y^2+8 =0$ ซึ่งกรณีนี้ไม่เกิดขึ้นเมื่อ $y$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ต่อไปเราสมมติ $x,y<0$
ทำแบบเดียวกันจะเห็นว่า มีอีกคำตอบคือ $x=0$ และ $y=-2$

[owlpenguin]

จริงๆแล้วเราไม่ต้องพิจารณากรณี $x,y<0$ ก็ได้เพราะว่าถ้า $(x,y)$ เป็นคำตอบก็จะได้ว่า $(-y,-x)$ เป็นคำตอบด้วย

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

2.
แต่ข้อ b) นี่... สุดๆ ยังคิดไม่ออก
ที่ได้ก็แค่ว่ามี $19$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวนึงแน่ๆ แล้วก็มี $2^{16x19}+1, 2^{16x13}+1$ เป็นตัวประกอบของ $19^{1976}+76^{1976}$ แน่ๆ โดยที่ 19 หาร $2^{16x19}+1, 2^{16x13}+1$ ไม่ลงตัวทั้งคู่
[/hidden]

ผมลองกดใน Mathematica 6.0 แล้วครับ ได้ว่า $(2^{16x19}+1,2^{16x13}+1)=65537=2^{16}+1$
ให้ $A=\frac{{2^{16 \times 19}+1 }}{{65537}}$ เป็นจำนวนเต็ม
$B = \frac{{2^{16 \times 13}+1}}{{65537}}$ เป็นจำนวนเต็ม
ให้ $C = \frac{{2^{19 \times 16 \times 13}+1 }}{{AB \times 65537}}$

แม้ว่า $A,B$ จะมีตัวประกอบอีกจึงได้ว่า 19,ตัวประกอบเฉพาะของ $A$,ตัวประกอบเฉพาะของ $B$ ,ตัวประกอบเฉพาะของ $C$ รวมกันคือมีจำนวนเฉพาะที่หาร $19^{1976} + 76^{1976} $ ได้ลงอย่างน้อย 4 ตัวเสมอ ไม่จำเป็นต้องดูรูปที่แนบมาหรอกครับ

ฺ

[Art_ninja]

1.(Solved by P'deekrab)
จาก $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2$
จะได้ว่า $(2x^2 +x)^2<4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = 4y^2\leq(2x^2+x+2)^2$
ดังนั้น $4y^2=(2x^2+x+1)^2$ หรือ $4y^2=(2x^2+x+2)^2$
เมื่อแยกกรณีจะได้ $(x,y)=(0,\pm 1),(-1,\pm 1),(3,\pm 11)$
ป.ล.ขอบคุณคุณ Tohn มากครับ

[Tohn]

ขอเสริมแนวคิดข้อ$1$ด้วยแล้วกันนะคับ
$(y-1)(y+1)=(x^2+1)(x^2+x)$
กรณี $y^2-1 = 0$ จะได้ (0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1)
กรณี $y^2-1 ไม่เป็น 0$
$(y-1)(y+1)=(x^2+1)(x^2+x)$ สังเกตุว่าเป็ฯผลคูณของจำนวนที่เรียงติดกัน จะได้ว่า$x=3$
$y^2=121$
(3,-11),(3,11) คับ ^_^

[Anonymous314]

ทำได้หมดแล้วนะครับ ขอบคุณมากครับ นี่คือโจทย์ข้อใหม่ครับ
5.จงหา $x,y,z$ ที่เป็นจำนวนนับทั้งหมดที่สอดคล้อง
$\sqrt {\overline {xxx...x} - \overline {yyy...yy} } = \overline {zzz...zz} $
มี $x$ อยู่ $2n$ ตัว $y$ $n$ ตัว $z$ $n$ ตัว

6.จงหา $x,y$ ที่เป็นจำนวนนับรวมศูนย์ทั้งหมดที่สอดคล้อง
$2^x = 3^y + 5$

7.จงพิสูจน์ว่า
$\sqrt {x^3 + y^3 + z^3 } = 1969$
ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

8.จงพิสูจน์ว่า $4^x + 6^x = 9^x $
ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ

9.(Erdos) $n,n + 1,n + 2,...,n + m$ โดยที่ $m \ge 3$
ไม่สามารถแบ่งโดย 2 สับเซตที่มีผลคูณของสมาชิกในเซตเท่ากันได้

[SPLASH]

ข้อ 1 วิธี ของ คุณ tohn ใน case 2 ทำมถึงเทียบได้เลยหล่ะครับ
เเล้ว ทำไม ข้อ4 ไม่พิจารณา x>0,y<0 พวกเนี่ยอ่ะครับ ซึ่งโอเคว่ามันไม่ได้ เเต่มันละได้เลยหรอครับ
อธิบายคนดักดานที่ครับ

[Brownian]

8.จงพิสูจน์ว่า $4^x+6^x=9^x$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ

Solution

ให้ $2^x = a$ และ $3^x = b$ ดังนั้น $a,b>0$ และ $a^2+ba-b^2 = 0$
ได้ว่า $a = \frac{-b+\sqrt{5b^2}}{2} = \frac{-b+b\sqrt{5}}{2} = b(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$
นั่นคือ $2^x = 3^x(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \Rightarrow x\log 2 = x\log 3 + \log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \Rightarrow x = \frac{\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}{\log 2 - \log 3} \not\in \mathbb{Q}$

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Brownian

Solution

ให้ $2^x = a$ และ $3^x = b$ ดังนั้น $a,b>0$ และ $a^2+ba-b^2 = 0$
ได้ว่า $a = \frac{-b+\sqrt{5b^2}}{2} = \frac{-b+b\sqrt{5}}{2} = b(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$
นั่นคือ $2^x = 3^x(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \Rightarrow x\log 2 = x\log 3 + \log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \Rightarrow x = \frac{\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}{\log 2 - \log 3} \not\in \mathbb{Q}$

แล้วทำไม $x = \frac{\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}{\log 2 - \log 3} \not\in \mathbb{Q}$ ครับ?

[Brownian]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

แล้วทำไม $x = \frac{\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}{\log 2 - \log 3} \not\in \mathbb{Q}$ ครับ?

เพราะว่า $\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\not\in \mathbb{Z}$ และ $\log 2 - \log 3\not\in \mathbb{Z}$
และ $\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \not= k(\log 2 - \log 3), k\in\mathbb{Q}$ ครับ

[owlpenguin]

แต่มันก็ยังบอกไม่ได้อยู่ดีว่ามันไม่อยู่ใน $\mathbb{Q}$ นะครับ
ยกตัวอย่างเช่น $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\in\mathbb{Q}$ ถึงแม้ว่า $2\sqrt{2},\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$