ช่วยทำโจทย์ข้อนี้ให้ดูเป็นขวัญตาด้วยนะครับ เป็นเรื่องของSeries Solutions of ODEs

[หนอนใบชา]

$y'=1+y^2$ , $y(0) =0$ , $x_1=\frac{\pi }{4}$
ทำตั้งแต่ก่อนจะหาค่า $y=tanx$
ขอขอบคุณล่วงหน้าครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หนอนใบชา

$y'=1+y^2$ , $y(0) =0$ , $x_1=\frac{\pi }{4}$
ทำตั้งแต่ก่อนจะหาค่า $y=tanx$
ขอขอบคุณล่วงหน้าครับ

จากโจทย์ \[
\frac{{dy}}{{dx}} = 1 + y^2
\]
\[
dx = \frac{1}{{1 + y^2 }}dy
\]
\[
\int {dx = } \int {\frac{1}{{1 + y^2 }}dy}
\]
ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไป คือ \[
x = \arctan y + c
\]
จาก \[
y\left( 0 \right) = 0
\]
จะได้ \[
c = 0
\]
ดังนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ \[
x = \arctan y
\]
หรือ \[
y = \tan x
\]
ปล. หรือคุณหนอนใบชาต้องการวิธีหาผลเฉลยโดยใช้อนุกรมอนันต์ ( อยู่ในเรื่องของSeries Solutions of ODEs ? )

[nongtum]

หมายถึงแบบนี้หรือเปล่าครับ

สมการอนุพันธ์นี้เป็นสมการแยกตัวแปรได้ เพราะจาก $\frac{dy}{dx}=1+y^2$ จะได้ $\frac{dy}{1+y^2}=dx$ ดังนั้น$$\int\frac{dy}{1+y^2}=\int\,dx$$ อินทิเกรตทั้งสองข้าง (ตรงนี้จะใช้การแทนตรีโกณ ที่น่าจะเคยเจอตอนเรียนเทคนิคการอินทิเกรตแล้ว) จะได้ $$\begin{eqnarray}
\arctan y&=&x+C\\
y&=&\tan(x+C)\\
\end{eqnarray}$$เมื่อใช้กับเงื่อนไขเริ่มต้น $y(0)=0$ จะได้ $C=n\pi,\ n\in\mathbb{Z}$
คำตอบจึงเป็น $y=\tan(x+2n\pi)$

... แล้วให้เงื่อนไข $x_1=\pi/4$ มาทำไมเนี่ย