LADM ช่วยหน่อยครับผมอยากรู้ว่าจาก (1)ไป(2)ได้ไง

[mzaxgirl]

$ a_2 x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + a_1 x\frac{dy}{dx} + a_0 y +F(y)=G(x) $ ....(1)
$ y(x_0)=\alpha _0 , y'(x_0)=\alpha _1 $

use a transformation $x=e^t$ to reduce the equation in (1) to a differential rquation with constant coefficients. So problem (1) turn into

$ \frac{d^2 y}{dt^2} + b_1 x\frac{dy}{dt} + b_0 y +F(y)=G(t) $ .....(2)
$ y(t_0)=\alpha _0 , y'(t_0)=\alpha _1 $

คืออยากรู้ว่า $a_2 x^2$ หายไปไหนแล้วก็ $a_1$ กลายเป็น $b_1$ ได้ไง

[nooonuii]

$x=e^t$

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}$

$~~~~=e^t\dfrac{dy}{dx}$

$\dfrac{d^2y}{dt^2}=e^t\dfrac{d^2y}{dx^2}+e^t\dfrac{dy}{dx}$

ดังนั้น

$\dfrac{dy}{dx}=e^{-t}\dfrac{dy}{dt}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=e^{-t}\dfrac{d^2y}{dt^2}-e^{-t}\dfrac{dy}{dt}$

แทนสองตัวนี้ลงไปในสมการเดิมแล้วจัดรูป ลองดูครับ

[mzaxgirl]

แทนแล้วจะได้
$a_2 e^t (\frac{d^2 y}{dt^2}+a_1 \frac{dy}{dt}) $
พจน์หน้าจัดไงต่อให้ได้(2)ครับ
แล้วพจน์หลังนี่ แทน$a_1$เป็น$b_1$เลยใช่ไหมครับ

[nooonuii]

คิดว่าคงเอา $a_2e^t$ หารตลอดครับ แต่ผมคิด $b_1$ ได้เป็นฟังก์ชันของ $t$ ครับ ใช้ได้หรือเปล่าครับ

[mzaxgirl]

ผมแทนแล้วได้
$\frac{d^2 y}{dt^2}+\frac{(a_1 -a_2)}{a_2}\frac{dy}{dt}+\frac{a_0}{a_2}y +\frac{F(y)}{a_2}=\frac{G(e^t)}{a_2} $
แทน $\frac{(a_1 -a_2)}{a_2}$เป็น $b_1$
แทน $\frac{a_0}{a_2}$เป็น$b_0$
ทำไม $\frac{F(y)}{a_2}$ กลายเป็น $F(y)$
ทำไม $\frac{G(e^t)}{a_2} $ กลายเป็น $G(t)$
ขอละเอียดหน่อยนะครับ
งงจริงๆ ไม่ค่อยถนัดเรื่องนี้

[Sly]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$x=e^t$

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}$

$~~~~=e^t\dfrac{dy}{dx}$

$\dfrac{d^2y}{dt^2}=e^t\dfrac{d^2y}{dx^2}+e^t\dfrac{dy}{dx}$

ดังนั้น

$\dfrac{dy}{dx}=e^{-t}\dfrac{dy}{dt}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=e^{-t}\dfrac{d^2y}{dt^2}-e^{-t}\dfrac{dy}{dt}$

แทนสองตัวนี้ลงไปในสมการเดิมแล้วจัดรูป ลองดูครับ

x=e^t
dx=e^t dt
dt/dx=e^(-t)
dy/dx=(dy/dt)(dt/dx) =e^(-t) dy/dt=x^(-1)dy/dt=u

du/dt=e^(-t) (d^2/dt^2)y - e^(-t) (dy/dt)
(d^2/dx^2)y = (d/dx)(dy/dx)
=du/dx
=(du/dt)(dt/dx)
=[e^(-t) (d^2/dt^2)y - e^(-t) (dy/dt)]e^(-t)
=e^(-2t) (d^2/dt^2)y - e^(-2t) (dy/dt)
=x^(-2) [(d^2/dt^2)y - (dy/dt)]
แบบนี้ครับ