ข้อสอบ 5th TMO ณ โรงเรียนสวนกุหลาบ

[Art_ninja]

วันแรก ข้อ 10

My Solution

ให้ $t$ เป็นจำนวนสามเหลี่ยมทั้งหมดที่เกิดจากจุด $20$ จุดนี้
โดยมี $n_1,n_2,n_3$ เป็นจำนวนจุดที่เติมบนด้าน $AB,AC$ และ $BC$ ตามลำดับ
ให้ $t'$ เป็นจำนวนสามเหลี่ยมที่ได้จากจุด $20$ จุดนี้ โดยมี $n_1-1,n_2+1$ และ $n_3$ เป็นจำนวนจุดที่เติมบนด้าน $AB,AC$ และ $BC$ ตามลำดับ จะเห็นว่า $t'=t-[\left(\ ^{n_2}_2 \right)+n_2n_3]+[\left(\ ^{n_1-1}_2 \right)+(n_1-1)n_3]$ แสดงว่าถ้าจำนวนจุดที่เติมบนด้านสองด้านมีค่ามากกว่ากันเกิน 1 แล้ว จะมีวิธีการเติมจุดที่ได้จำนวนสามเหลี่ยมมากกว่าเสมอ ดังนั้นจำนวนรูปสามเหลี่ยมจะมากที่สุดเมื่อเติมด้านละ 6 จุด 2 ด้าน และ 5 จุดในด้านที่เหลือ ซึ่งจะได้จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มากที่สุด $\left(\ ^{20}_3 \right)-2 \left(\ ^8_3 \right)-\left(\ ^7_3 \right)=993$ รูป

[Art_ninja]

วันที่สอง ข้อ 4

My Solution

สังเกตว่า $2008 \equiv -5^2 \pmod {19}$
ดังนั้น
$\begin{array}{rcl} 10\sum_{k = 0}^{n} \left(\ ^{2n+1}_{2k+1} \right)(-2008)^k
&\equiv& 10\sum_{k = 0}^{n} \left(\ ^{2n+1}_{2k+1} \right)5^{2k} \pmod{19} \\
&\equiv& (1+5)^{2n+1}+(1-5)^{2n+1}\pmod{19} \\
&\equiv& 6^{2n+1}+4^{2n+1} \pmod{19}\\
&\equiv& 2^{2n+1}(3^{2n+1}+2^{2n+1}) \pmod {19} \end{array} $
เนื่องจาก $3^{2n+1}+2^{2n+1} \equiv (-16)^{2n+1} + 2^{2n+1} \equiv 2^{2n+1}(1-2^{6n+3})$ และจาก $2^{18}\equiv 1 \pmod {19}$ ทำให้ $2^{6(n+3)+3} \equiv 2^{6n+3} \pmod {19}$ สำหรับทุก $n=0,1,2,...$ จึงเพียงพอที่จะพิจารณาว่า $3^{2n+1}+2^{2n+1}$ หารด้วย $19$ ลงตัวหรือไม่ เมื่อ $n=0,1,2$ เท่านั้น เมื่อตรวจสอบแล้วพบว่า ไม่มีตัวใดที่ทำให้ $19$ หาร $3^{2n+1}+2^{2n+1}$ ลงตัว
ดังนั้น $19 \nmid \sum_{k = 0}^{n} \left(\ ^{2n+1}_{2k+1} \right)(-2008)^k$

ป.ล.ข้อนี้ผมทำผิดไปหน่อยนึงในห้องสอบ... ก็เลยได้แค่ 3 จาก 7 คะแนนครับ

[viridae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

โจทย์วันที่ 2
ข้อ 2 From PEN
ข้อ 4 Idea from old IMO problem
ข้อ 5 102 problem in Combinatorics
ส่วนตัวผมคิดว่าโจทย์วันที่ 2 น่าจะแอบลอกๆมาหมดครับ - -* เพียงแต่ผมรู้แค่นี้

อยากทราบว่า ข้อ 5 อ่ะคะ เป็นข้อไหนใน 102 combinatorial problems

ปล. ขอแสดงความยินดีกับทุกๆคนที่ได้รับเหรียญนะคะ

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ปล.ผมรู้สึกว่า TMO เหมือนงาน meeting Mathcenter เลยครับ - -"
ปล2.รู้สึกว่าจะมีคนบอกว่าได้วันที่ 2 ถึง 4 ข้อเลยนะครับ ว่าแต่เอ๊ะใครกันหนอออ ไซโคเก่งจัง 5 5

1.ผมก็คิดเหมือนคุณ Rose-Joker นั่นแหละครับ ตอนแรกผมรู้จักแต่คุณ Dektep(ซึ่งก็พักห้องเดียวกันด้วย)
พอมาตอนหลังก็ได้รู้จักกับคุณ Anonymous314 กับคุณ Rose-Joker(เป็นคนใกล้ตัวจริงๆเลยครับ)
2.ใช่ครับ ผมรู้สึกว่าวันที่2 จะถูกไซโคไว้อะครับ ทำเอาเครียดจนเที่ยวไม่สนุกเลยอะ ใครหนอบอกว่าทำได้ 4 ข้อ แต่ดันไม่ได้ที่ 1 555+

[Anonymous314]

สอบรอบนี้ตัดกันที่วันที่ 2 จริง ๆ นะครับ

[CmKaN]

ซี๊ดดด มีแต่พวกเทพๆ #0# ว่าแต่ที่หนึ่งได้กี่คะแนนเหรอครับ

[seemmeriast]

ข้อ 1 วันที่ 2
เราสามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายว่า MP=MA=MN ดังนั้น ถ้าพิสูจน์ได้ว่า PO=OB ก็จบ

ให้ O' เป็นจุดกึ่งกลางของ BP ให้ O'N ตัดวงกลมที่ D' และ H โดยที่ D' อยู่ระหว่าง O และ N
จาก Power จะได้ $O'D'\cdot O'H=O'B^2$
แต่ O'H=MC และ OB=OP=MP ดังนั้น $\frac{MC}{MP}=\frac{O'P}{O'D'}$
ดังนั้น $\Delta MCP ~ \Delta OPC$
ดังนั้น $\angle OPD ' =\angle MCP = \angle CPO$
ดังนั้น C, D', P อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
ดังนั้น จุด D ทับกับ D' ดังนั้น จุด O ทับกับ O'
นั่นคือ PO=OB

[mathstudent2]

ข้อ2 วันแรกใช้ ทบ.stewart หรือไม่ก็ปีทาโกรัส
วันที่สองใช้ทบ.ผีเสื้อครับ

แต่ผมอยากรู้ว่าข้อ 6 วัน 2
ทำอย่างไรครับ

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

1.ผมก็คิดเหมือนคุณ Rose-Joker นั่นแหละครับ ตอนแรกผมรู้จักแต่คุณ Dektep(ซึ่งก็พักห้องเดียวกันด้วย)
พอมาตอนหลังก็ได้รู้จักกับคุณ Anonymous314 กับคุณ Rose-Joker(เป็นคนใกล้ตัวจริงๆเลยครับ)
2.ใช่ครับ ผมรู้สึกว่าวันที่2 จะถูกไซโคไว้อะครับ ทำเอาเครียดจนเที่ยวไม่สนุกเลยอะ ใครหนอบอกว่าทำได้ 4 ข้อ แต่ดันไม่ได้ที่ 1 555+

- เห็นด้วยกับคุณ Rose_Joker ครับ ขอแสดงความยินดีกับคุณ Rose_Joker,Dektep,tatari/nightmare,etc... ด้วยนะครับ
- โดน cyclo too!

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2

ข้อ2 วันแรกใช้ ทบ.stewart หรือไม่ก็ปีทาโกรัส
วันที่สองใช้ทบ.ผีเสื้อครับ
แต่ผมอยากรู้ว่าข้อ 6 วัน 2
ทำอย่างไรครับ

Solution by Art_ninja
6.นิยาม $\lambda(x,y)=\frac{2008}{x^2y^3}$ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ใดๆ
จะเห็นว่า $[\frac{x}{\lambda(x,y)}]^2(y\cdot \lambda(x,y))^3=2008$
ดังนั้นสำหรับทุก $z>\lambda(x,y)=2008$ จะได้ว่า $(\frac{x}{z})^2(yz)^3>2008$ จะได้ตามมาว่า $(f(xy))^2=f(\frac{x^2}{z^2})f(y^2z^2)$ สำหรับทุก $z>\lambda(x,y)=2008$
สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ใดๆ เลือก$ z> \rm max{\left\{\ \lambda(x,y),\lambda(y,x),\lambda(x,x),\lambda(y,y)\right\} }$
จะได้ว่า
$(f(x^2))^2=f(\frac{x^2}{z^2})f(x^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
$(f(y^2))^2=f(\frac{y^2}{z^2})f(y^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
$(f(xy))^2=f(\frac{x^2}{z^2})f(y^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
$(f(xy))^2=f(\frac{y^2}{z^2})f(x^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
จะเห็นว่า
$
\begin{array}{l}
f(xy)^2 f(xy)^2 = f(\frac{{x^2 }}{{z^2 }})f(y^2 z^2 )f(\frac{{y^2 }}{{z^2 }})f(x^2 z^2 ) \\
= f(\frac{{x^2 }}{{z^2 }})f(x^2 z^2 )f(\frac{{y^2 }}{{z^2 }})f(y^2 z^2 ) \\
= (f(x^2 ))^2 (f(y^2 ))^2 \\
\end{array}
$
ดังนั้น $f(xy)^2 f(xy)^2 = (f(x^2 ))^2 (f(y^2 ))^2$

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ใดๆ เลือก$ z> \rm max{\left\{\ \lambda(x,y),\lambda(y,x),\lambda(x,x),\lambda(y,y)\right\} }$
จะได้ว่า
$(f(x^2))^2=f(\frac{x^2}{z^2})f(x^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
$(f(y^2))^2=f(\frac{y^2}{z^2})f(y^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
$(f(xy))^2=f(\frac{x^2}{z^2})f(y^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
$(f(xy))^2=f(\frac{y^2}{z^2})f(x^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$

ขอโทษด้วยนะครับ จริงๆแล้วต้องแก้เป็น
$(f(x^2))^2=f(\frac{x^2}{z^2})f(x^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,x))$
$(f(y^2))^2=f(\frac{y^2}{z^2})f(y^2z^2)$ $(\because z>\lambda(y,y))$
$(f(xy))^2=f(\frac{x^2}{z^2})f(y^2z^2)$ $(\because z>\lambda(x,y))$
$(f(xy))^2=f(\frac{y^2}{z^2})f(x^2z^2)$ $(\because z>\lambda(y,x))$
จึงจะได้ว่าเงื่อนไชของโจทย์ที่จะให้พิสูจน์เป็นจริงเสมอครับ
ป.ล.solution ที่ผมส่งไปให้พี่ Rose-Joker พิมพ์ผิดไปหน่อยน่ะครับ ขอโทษด้วยนะครับ

[Art_ninja]

ผมขอเพิ่มเติมอีกนิดนะครับ สำหรับข้อ 2 วันแรก

My Solution

เพราะว่า $O_1$ และ $O_2$ มีรัศมีเท่ากัน จึงได้ว่า
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้น $AB=AC=15$ ลากเส้น $AE$ ตั้งฉากกับ $BC$ โดยทฤษฎีบทของพิธากอรัส จะได้ว่า $BC= \sqrt{AB^2 - (\frac{BC}{2})^2}=12$ และจาก $AD=13$ จะเห็นว่า $DE=5$ และ $CD=4$
ดังนั้นจะได้ $\frac{r_1}{r_2}=\frac{8}{3}$

[Anonymous314]

ทีนี้ก็ใกล้ครบแล้วนะครับ ใครทำข้อ 5 ได้ช่วยหน่อยครับ Help Me!!!

[Art_ninja]

ข้อ 5 วันที่สอง(inspired by N'นิปุณ)

My Solution

เนื่องจากมีนักเรียนทั้งหมด $m+n$ คน จึงได้ว่ามีจำนวนวิธียืนทั้งหมด (m+n)! วิธี
ให้ $x_i$ แทนจำนวนวิธีในการจัดแถวที่มีการจับมือกันระหว่างนักเรียนตำแหน่งที่ $i$ และ $i+1$ โดยที่
$1 \leq i \leq m+n-1$
ดังนั้นจำนวนการจับมือมีทั้งหมด $\sum_{i = 1}^{m+n-1}x_i $
ซึ่งจะเห็นว่าถ้าตำแหน่งที่ $i$ และ $i+1$ เป็นหญิงทั้งคู่จะมีวิธีการจับมือทั้งหมด $n(n-1)(m+n-2)!$ วิธี
แต่ถ้าตำแหน่งที่ $i$ และ $i+1$ เป็นชายทั้งคู่จะมีวิธีการจับมือทั้งหมด $m(m-1)(m+n-2)!$ วิธี
ดังนั้นแต่ละ $x_i$ จะมีค่า $(m^2+n^2-m-n)(m+n-2)!$ วิธี
$\therefore$ จำนวนการจับมือมีทั้งหมด $(m+n-1)(m^2+n^2-m-n)(m+n-2)!=(m^2+n^2-m-n)(m+n-1)!$ วิธี
ดังนั้นค่าเฉลี่ยการจับมือจึงมีค่าเท่ากับ $$\frac{m^2+n^2-m-n}{m+n}$$

[Anonymous314]

ขอบคุณคุณ Art_Ninja มากนะครับทั้งข้อ 5 และข้อ 6 เลยนะครับ
พี่ Art_Ninja สุดยอดเลยคิดข้อ 6 ออก