Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 07 มิถุนายน 2007, 22:04
h-man h-man ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มิถุนายน 2007
ข้อความ: 2
h-man is on a distinguished road
Default อสมการระดับยาก

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$(a+b+c)^2\geq a\sqrt{8b^2+c^2}+b\sqrt{8c^2+a^2}+c\sqrt{8a^2+b^2}$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 09 มิถุนายน 2007, 10:43
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ยากจริงๆด้วยครับ ยังไม่กล้าเอามานั่งคิดแบบจริงจัง กลัวจะติดลม ช่วงนี้มีอะไรให้ทำเยอะครับ มีใครจะโชว์ฝีมือบ้างมั้ยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 10 มิถุนายน 2007, 07:43
Art_ninja's Avatar
Art_ninja Art_ninja ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 31 มีนาคม 2007
ข้อความ: 184
Art_ninja is on a distinguished road
Default

ยังคิดไม่ออกเลยครับ ยังหาวิธีที่แน่นอนไม่ได้เลยครับมีคำแนะนำหรือ hint บ้างไหมครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 10 มิถุนายน 2007, 14:37
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Default

ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่
ช่วยตรวจสอบให้ด้วยนะครับ
จาก
\[(a+b+c)^4=\sum a^4+\sum_{sym} 4a^3b+6\sum a^2b^2+12\sum a^2bc \ ...(1)\]
และโดย AM-GM จะได้ว่า
\[\begin{array}{rcl} (\sum_{cyc} a\sqrt{8b^2+c^2})^2 &=& 9\sum a^2b^2+2\sum_{cyc} ab\sqrt{8b^2+c}\sqrt{8c^2+a} \\
&=& 9\sum a^2b^2 + 2\sum_{cyc} \sqrt{8ab^3+abc^2}\sqrt{8abc^2+a^3b} \\
&\leq& 9\sum a^2b^2 + \sum_{cyc} 8ab^3 + \sum_{cyc} a^3b +9 \sum a^2bc \ ...(2)
\end{array} \]
ที่เหลือก็ต้องพิสูจน์ว่า $(1)\geq (2)$ ซึ่งสมมูลกับ
\[ \begin{array}{rcl} \sum a^4 +3\sum_{cyc} a^3b - 4\sum_{cyc} ab^3 -3\sum a^2b^2 +3\sum a^2bc &\geq& 0 \\
\sum_{cyc} (a^2+b^2-c^2+2ab-ac-2bc)(a-b)(a-c) &\geq& 0
\end{array} \]
ซึ่งเป็นจริงตาม Vornicu-Schur inequality ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 15 กันยายน 2007, 23:29
Erken Erken ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 กันยายน 2007
ข้อความ: 41
Erken is on a distinguished road
Default

Cauchy-schwarz $$(\sum_{cyc}a\sqrt{8b^2+c^2})^2 \leq \sum_{cyc}a(51a+100b+2c)\sum_{cyc}\frac{a(8b^2+c^2)}{51a+100b+2c}=51(a+b+c)^2\sum_{cyc} \frac{a(8b^2+c^2)}{51a+100b+2c}$$ It suffices to prove that
$$51\sum_{cyc}\frac{a(8b^2+c^2)}{51a+100b+2c} \leq (a+b+c)^2$$
we can easily check this inequality.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:19


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha