เรื่องของ ln

[mercedesbenz]

อยากทราบว่า จริงหรือไม่ที่ $\ln(\frac{n+1}{n})\leq \frac{1}{n}$ สำหรับทุก n ที่เป็นจำนวนนับ
ถ้าจริงเราจะพิสูจน์อย่างไรครับ และถ้าไม่จริงไม่จริงที่ n ตัวใด
หมายเหตุ ผมได้แทรกกราฟ มาให้ดูด้วยครับ

ขอบคุณมากที่ช่วยเหลือครับ

[nongtum]

แสดงให้ได้ว่าลำดับ $(1+\frac1n)^n$ เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ และมีขอบเขตบน (ซึ่งทำให้ลำดับนี้มีลิมิตคือค่า $e$)
ที่เหลือก็ take ln ทั้งสองข้างแล้วจัดรูปครับ

[passer-by]

หรือจะใช้ concept คล้ายๆกับการพิสูจน์ integral test ก็ได้ครับ

โดยอ้างจาก $ f(x)= \frac{1}{x} $ เป็นฟังก์ชันลดบน [n,n+1] ดังนั้น

$$ \frac{1}{n+1} \leq \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \,\,dx \leq \frac{1}{n} $$

อสมการด้านขวาก็คือสิ่งที่คุณ Mercedesbenz ต้องการ

[nooonuii]

แถมให้อีกสองวิธีครับ

1. ใช้ Lagrange Remainder Theorem
ให้ $f(x)=\ln{(1+x)}$
สำหรับ $x>0$ เราจะได้ว่า
$f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(y)}{2!}x^2$ สำหรับบาง $y\in (0,x)$

2. พิสูจน์ว่า $\ln{(1+x)}\leq x$ ทุก $x\geq 0$
ให้ $f(x)=\ln{(1+x)}-x$ แสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $[0,\infty)$ ดังนั้น
$f(0)$ เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วงนี้

[mercedesbenz]

ขอบคุณพี่ๆ mathcenter มากเลยนะครับที่ช่วยไขข้อข้องใจ และแนะนำมา ผมไม่้ค่อยได้เข้ามาเล่นสักเท่าไหร่ช่วงนี้ แต่ที่นี่ยังอบอุ่นเหมือนเดิมเลยนะครับ ปีใหม่แล้วขอให้ชาว mathcenter ทุกๆคนจงสุขภาพร่างกายแข็งแรง คิดสิ่งใด ขอให้สมปรารถนานะครับ และขอให้พี่ๆอยู่คู่บอร์ดนี่ไปนานๆ จะไ้ด้ช่วยเหลือน้องๆ ต่อไปครับ