Curve of pursuit

[Little Penguin]

1.มีกระต่ายตัวหนึ่งวิ่งบนแกน y ไปทางบวกด้วยความเร็ว $a>0$ และมีหมาจิ้งจอกตัวหนึ่งยืนอยู่ ณ พิกัด $\left(k,0\right),k>0$ โดยหมาจิ้งจอกตัวดังกล่าววิ่งได้ด้วยความเร็ว $b>0$ ถ้าให้หมาจิ้งจอกวิ่งไล่ตามกระต่ายตามทิศที่มันเห็น ณ ขณะนั้นไปเรื่อยๆ จนกว่าหมาจิ้งจอกจะทันกระต่าย(หรือถ้าไม่ทันก็จะวิ่งไปเรื่อยๆไม่หยุด) โดยเริ่มต้นที่เวลา $t=0$

i)สมการของทางเดินของหมาจิ้งจอกเป็นอย่างไร
ii)หมาจิ้งจอกจะวิ่งทันกระต่ายเมื่อใดบ้าง และจะทันกระต่ายในเวลา $t$ เท่าใด

2.หากเราจับแมงมุม 4 ตัววางที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ยาวด้านละ $x$ หน่วย แล้วให้แมงมุมทั้ง 4 ตัว เดิน โดยให้ A เดินตาม B, B เดินตาม C, C เดินตาม D, และ D เดินตาม A ไปเรื่อยๆ (ในที่นี้ไม่ได้หมายความว่าแมงมุมจะเดินบนเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยม แมงมุมแค่เดินตามแมงมุมตัวที่บอกไว้ข้างต้นตามที่ตามันเห็นไปเรื่อยๆ) ทั้งนี้แมงมุมทั้ง 4 ตัว เดินด้วยอัตราเร็วคงที่ คือ $v$

i)ทางเดินของแมงมุมแต่ละตัวเป็นรูปอะไร
ii)หากปล่อยแมงมุมทั้งสี่ เดินไปเรื่อยๆ จะไปเจอกันในที่สุดหรือไม่ ถ้าเจอกัน เจอที่ตำแหน่งใด และเวลาใด
iii)หากเปลี่ยนโจทย์จาก "มีแมงมุม 4 ตัวอยู่บนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส" เป็น "มีแมงมุม $n$ ตัวอยู่บนจุดยอดของรูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า" คำตอบในข้อ i), ii) จะเปลี่ยนเป็นอย่างไร

[Little Penguin]

ขออนุญาตดันกระทู้ครับ

[nongtum]

ผมยังไม่มีเวลาทดแบบละเอียดนะครับ (ติดสอบ) แต่พอเริ่มให้ได้นิดหน่อยดังนี้

1. สมมติให้กระต่ายวิ่งออกจากจุด $(0,y_0)$ ตำแหน่งของกระต่าย ณ เ้วลา $t>0$ จะเป็น $(0,y_0+at)$
แตกความเร็วของหมาฯออกเป็นสองแกน แล้วพยายามหา parametric equation ในแต่ละทางดู
อย่าลืมว่า ถ้าหมาฯวิ่งชนแกน $y$ แล้วยังกวดไม่ทัน หมาฯก็จะวิ่งในแกน $y$ ทางบวกด้วยครัีบ

2. ถ้าเข้าใจข้อแรก คงค่อยๆไล่้ทีละตัวได้ไม่ยากครับ