ช่วยแนะ comparison tests ข้อนี้หน่อยครับ

[ความฝัน]

$ จงแสดงว่า \int_{1}^{\infty}\,sin(\frac{1}{x^2} )dx นั้นconvergence$

ใช่อะไรเปรียบเทียบกัันครับ

หากันยังไง

[passer-by]

ก็ใช้ $ g(x) = \frac{1}{x^2} $ มา bounded ขวามือก็พอครับ เพราะ $ \int_1^{\infty}\frac{1}{x^2} \,\, dx $ หาค่าได้ แล้วก็อ้าง comparison test for improper integral ตามปกติ

Note : $\sin \theta < \theta \,\, (\theta > 0)$

[nooonuii]

$\sin{x}\leq x$ ทุก $x\geq 0$

Proof

ให้ $f(x)=x-\sin x,x\geq 0$

$f'(x)=1-\cos x\geq 0$

ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $[0,\infty)$

จึงได้ $f(x)\geq f(0)$ ทุก $x\in [0,\infty)$

$x-\sin x\geq 0$ ทุก $x\in [0,\infty)$

[ความฝัน]

ขอบคุณทั้งสองท่านมากครับ