จงแสดงว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับโคชี่

[BGT]

0.1,0.101,0.101001,0.1010010001,...

[nooonuii]

$a_n=\dfrac{1}{10^1}+\dfrac{1}{10^{1+2}}+\dfrac{1}{10^{1+2+3}}+\cdots+\dfrac{1}{10^{1+2+\cdots+n}}$

$\leq \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10^2}+\cdots$


$=\dfrac{1}{9}$

สังเกตว่า $a_n\leq a_{n+1}$ ทุก $n$

ดังนั้น $(a_n)$ เป็นลำดับเพิ่มและมีขอบเขตบน

โดย Monotone Convergence theorem จะได้ $(a_n)$ ลู่เข้า

ดังนั้น $(a_n)$ เป็น Cauchy sequence

[BGT]

ขอบพระคุณมากครับ
รบกวนต่ออีกนิดครับคือผมอ่านหนังสือแล้วเขาเขียนสรุปสั้น ๆว่า

"an example of a Cauchy sequence in $\mathbb{Q}$ which does not converge"

ถ้าเราจะแสดงว่ามันไม่ converge บน $(\mathbb{Q},d)$ จะแสดงได้อย่างไรครับ

ปล. d เป็น usual metric

[passer-by]

sequence ที่ถามมา มัน converge ใน R ตามที่พี่ nooonuii prove ครับ

แต่ ดูจาก sequence จะเห็นว่า limit มันอยู๋นอก Q แน่นอน (กล่าวคือมันลู่เข้าหาอตรรกยะ)

เท่ากับว่า ได้ cauchy in Q ที่ไม่ converge to a point in Q แล้วล่ะครับ

Note : ผมคิดว่าในหนังสือ ที่บอกว่าไม่ converge ไม่ได้แปลว่า divergent แต่แปลว่า converge to สมาชิกนอกเซตที่พิจารณาครับ

[BGT]

ขอบพระคุณมากครับ T_T

[ความฝัน]

ลำดับข้างบนมันลู่เข้าสู่ $\frac{1}{9} $ใช่ป่าวครับ

แต่$\frac{1}{9} $เป็นตรรกยะนิครับ

งงเลย แล้วมันไม่ลู่เข้ายังไง ช่วแนะอีกนิดได้ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความฝัน

ลำดับข้างบนมันลู่เข้าสู่ $\frac{1}{9} $ใช่ป่าวครับ

แต่$\frac{1}{9} $เป็นตรรกยะนิครับ

งงเลย แล้วมันไม่ลู่เข้ายังไง ช่วแนะอีกนิดได้ไหมครับ

มันลู่เข้า $0.101001000100001\cdots$ เป็นทศนิยมมิรู้จบที่มีเลขศูนย์แทรกอยู่ระหว่างเลข $1$ เป็นจำนวน $1,2,3,4,...$ ตัว

ซึ่งจำนวนนี้ไม่เป็นจำนวนตรรกยะแน่นอนเพราะไม่มีคาบการซ้ำ(สังเกตได้จากเลขศูนย์ที่แทรกระหว่างเลขหนึ่งที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ)

[ความฝัน]

ขอบคุณครับ