Nice 3 ตัวแปร

[God Phoenix]

กำหนด $a,b,c>0$

จงพิสูจน์ว่า $\frac {a^2}{b}+\frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \frac {3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

สวยนะครับ อยากรู้จังเลยว่า solution จะสวยรึเปล่า

[dektep]

จาก $$\sum_{cyc}a(a-b)^2 \geq 0$$ จะได้ว่า $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3\sum_{cyc}a^2b$$
ดังนั้น $$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq 3(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$$
โดย Cauchy-Schwarz ; $$\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^2b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}$$
จะได้ว่า $$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b} \geq 3(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ God Phoenix

กำหนด $a,b,c>0$

จงพิสูจน์ว่า $\frac {a^2}{b}+\frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a} \geq \frac {3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

สวยนะครับ อยากรู้จังเลยว่า solution จะสวยรึเปล่า

อสมการสมมูลกับ

$ab^4+bc^4+ca^4+a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\geq 2abc(a^2+b^2+c^2)$

แต่

$ab^4+bc^4+ca^4\geq abc(a^2+b^2+c^2)$

$a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\geq abc(a^2+b^2+c^2)$

โดย Muirhead's inequality

[God Phoenix]

อย่างนี้ เค้าเรียกว่า การทำ backward ใช่มั้ยครับ