ใครจำข้อสอบ PAT 1 (ต.ค.55) วันนี้ได้บ้างครับ

[Euler-Fermat]

ช่วยมาโพส กันด้วยครับ

[<3 Wan]

A= max cos^4 - sin^4

B= max 4 sin + 3 cos


A+B เท่ากับเท่าไหร่ ในโจทให้มุมเปนลักษณ์ เดียวกันนะครับ

[Suwiwat B]

กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $2|z+1| = |z+4|$ จงหา $|\overline{z} |$

กำหนดให้ $a_n, b_n$ เป็นลำดับโดยที่
$$a_n = 1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$$
$$b_n = 1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$$
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้
$\frac{a_2a_3a_4...a_n}{b_2b_3b_4...b_n} = 1331$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. $cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5} + cos\pi = \frac{1}{2}$
ข. $tan\frac{7\pi}{16} - tan\frac{3\pi}{8} = cosec\frac{\pi}{8}$

$U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์
20% ของสมาชิกใน set $A$ เป็นสมาชิกของ set $B$
25% ของสมาชิกใน set $B$ เป็นสมาชิกของ set $A$
ถ้าจำนวนสมาชิกใน set $(A-B )\cup(B-A)$ มีค่า $112$
จงหาจำนวนสมาชิกใน $set A\cup B$

[SolitudE]

โดยส่วนตัวแล้วจำไม่ค่อยได้ (ทำก็ไม่ทัน - -)

จาก #3

ข้อแรก ตอบ 2

ข้อสอง ตอบ 36

ข้อสี่ 126

ปล. ที่ตอบมาอาจจะผิด เพราะจำที่คิดมามั่วๆตอนนั้น 55

[SolitudE]

ไปท่องเว็บ... ได้มาอีก 2 ข้อ

ให้ $a,b,c\in \left\{\,1,2,3,..,9\right\} $ กำหนดให้ $56*a+7*b+c=416$ แล้ว $a+b+c=?$

$a,b,c\in \left\{\,1,2,3,..,9\right\}$ ให้ $x=abc$ และ $=cba$ และเป็นเลขสามหลักทั้งคู่ โดย $a,b,c$ ไม่ซ้ำกัน $S=\left\{\,x|x-y มีค่ามากที่สุด\right\}$ จงหาผลบวกของสมาชิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต S

[shirouhi-lover]

ข้อตรีโกณ ก.

$cos\frac{\pi }{5} + cos\frac{3\pi }{5}$

$=2cos\frac{2\pi}{5}cos\frac{\pi}{5} $

$=2sin\frac{\pi}{10}cos\frac{\pi}{5}\cdot \frac{cos\frac{\pi}{10} }{cos\frac{\pi}{10}} $

$=\frac{sin\frac{\pi}{5}cos\frac{\pi}{5} }{cos\frac{\pi}{10} }\cdot \frac{2}{2} $

$=\frac{sin\frac{2\pi}{5} }{2cos\frac{\pi}{10} } $

$=\frac{cos\frac{\pi}{10} }{2cos\frac{\pi}{10} } $

$=\frac{1}{2} $

ดังนั้น

$cos\frac{\pi }{5} + cos\frac{3\pi }{5} +cos\pi = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

[shirouhi-lover]

ข้อลำดับอนุกรมนะครับ อาจเป็นวิธีที่ห่ามไปนิดนึง 55+

$a_n = 1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2-n-1}{n^2} $

$b_n = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2+n-1}{n^2} $

$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{ \frac{n^2-n-1}{n^2} }{ \frac{n^2+n-1}{n^2} } $

$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{n^2-n-1}{n^2+n-1} $

$ \frac{a_2a_3a_4a_5...a_n}{b_2b_3b_4b_5...b_n} = \frac{(1)(5)(11)(19)...(n^2-n-1)}{(5)(11)(19)(29)...(n^2+n-1)} $

$= \frac{1}{n^2+n-1}$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ $\frac{1}{1331}$

ดังนั้น

$ n^2+n-1 = 1331 $

$ n^2+n-1332 = 0 $

$ (n-36)(n+37) = 0 $

$n=36$

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $2|z+1| = |z+4|$ จงหา $|\overline{z} |$

กำหนดให้ $a_n, b_n$ เป็นลำดับโดยที่
$$a_n = 1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$$
$$b_n = 1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$$
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้
$\frac{a_2a_3a_4...a_n}{b_2b_3b_4...b_n} = 1331$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. $cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5} + cos\pi = \frac{1}{2}$
ข. $tan\frac{7\pi}{16} + tan\frac{3\pi}{8} = cosec\frac{\pi}{8}$

$U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์
$20%$ ของสมาชิกใน set $A$ เป็นสมาชิกของ set $B$
$25%$ ของสมาชิกใน set $B$ เป็นสมาชิกของ set $A$
ถ้าจำนวนสมาชิกใน set $(A-B )\cup(B-A)$ มีค่า $112$
จงหาจำนวนสมาชิกใน $set A\cup B$

ข้อแรกจำนวนเชิงซ้อนนี่จดมาครบหรือเปล่าครับ
$z=a+bi$ แล้ว $(a,b)$ ที่สอดคล้องกับสมการ $2\sqrt{(a+1)^2+b^2}=\sqrt{(a+4)^2+b^2}$ มีอยู่เป็นอนันต์
$(a,b)$ จะเป็นจุดบนวงรี $4x^2+3y^2=12$

[shirouhi-lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

ไปท่องเว็บ... ได้มาอีก 2 ข้อ

ให้ $a,b,c\in \left\{\,1,2,3,..,9\right\} $ กำหนดให้ $56*a+7*b+c=416$ แล้ว $a+b+c=?$

$a,b,c\in \left\{\,1,2,3,..,9\right\}$ ให้ $x=abc$ และ $=cba$ และเป็นเลขสามหลักทั้งคู่ โดย $a,b,c$ ไม่ซ้ำกัน $S=\left\{\,x|x-y มีค่ามากที่สุด\right\}$ จงหาผลบวกของสมาชิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต S

ข้อล่าง งงๆโจทย์อะ ขอข้อบนก่อนละกันคับ

$56a + 7b + c = 416$

$ (7)(8)a +7b + c = (7)(56) + 24 $

$ (7)(8)a +7b - (7)(56) = 24 - c $

$ (7)(8a+b-56) = 24 - c $

กำหนดให้ $8a+b-56 = N$

กลายเป็น $ 7N = 24 - c$

หาคู่อันดับ $(N,c)$ ที่เป็นจำนวนเต็มและไม่เกิน 10 ตามโจทย์บอก

พบว่า $(N,c) = (3,3)$ สามารถใช้ได้

ดังนั้น $ N = 8a+b-56 = 3$

$ 8a+b = 59 $

หาคู่อันดับ $(a,b)$ ที่เป็นจำนวนเต็มและไม่เกิน 10 ตามโจทย์บอก

พบว่า $(a,b) = (7,3)$ สามารถใช้ได้

ดังนั้น $ a+b+c = 7+3+3 = 13$

[Euler-Fermat]

กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $2|z+1| = |z+4|$ จงหา $|\overline{z} |$

ใช้เอกลักษณ์ $|z|^2= z\overline{z}$

$2|z+1| = |z+4|$

$4|z+1|^2 = |z+4|^2$

$4(z+1)(\overline{z+1}) = (z+4)(\overline{z+4})$

$4z\overline{z}+4z+4\overline{z}+4 = z\overline{z}+4z+4\overline{z}+16$

$3z\overline{z} = 12$

$z\overline{z} = 4$

$|z|^2 = 4$

$\therefore |z| = 2 $

[Euler-Fermat]

$tan\frac{7\pi}{16} + tan\frac{3\pi}{8} = cosec\frac{\pi}{8}$

$tan\frac{7\pi}{16} + tan\frac{3\pi}{8} = \dfrac{sin\frac{7\pi}{16}cos\frac{3\pi}{8}+sin\frac{3\pi}{8}cos\frac{7\pi}{16}}{cos\frac{7\pi}{16}cos\frac{3\pi}{8}} = \dfrac{sin\frac{13\pi}{16}}{cos\frac{7\pi}{16}cos\frac{3\pi}{8}} $

$cos\frac{7\pi}{16}cos\frac{3\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{16}[sin\frac{\pi}{16}]^2
= sin\frac{\pi}{8}sin\frac{\pi}{16}$

$\therefore \dfrac{sin\frac{13\pi}{16}}{cos\frac{7\pi}{16}cos\frac{3\pi}{8}} = \dfrac{sin\frac{13\pi}{16}}{sin\frac{\pi}{8}sin\frac{\pi}{16}} \not=
cosec\frac{\pi}{8}$

[Euler-Fermat]

$a,b,c\in \left\{\,1,2,3,..,9\right\}$ ให้ $x=abc$ และ $=cba$ และเป็นเลขสามหลักทั้งคู่ โดย $a,b,c$ ไม่ซ้ำกัน $S=\left\{\,x|x-y มีค่ามากที่สุด\right\}$ จงหาผลบวกของ

สมาชิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต S

ผม คิดว่า $y = cba $

$x-y = (100a+10b+c)-(100c+10b+a) = 99(a-c) $

$x-y$ มีค่ามากสุดเมื่อ $x-y = 9-1 =8$

$\therefore x = 9b1$ โดย $ b \in \left\{\ 2,3,4,5,..,8\right\}$

ผลบวกสมาชิกของ $S = 921+931+....+981 = \dfrac{7}{2}(1902) =6657$

[Real Matrik]

$\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{3\pi}{5} + \cos\pi = \frac{1}{2}$ ?

Another solution

จัดอสมการใหม่ได้ว่า
$$\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{3\pi}{5}=\frac{3}{2}$$
สังเกตว่า $\cos\frac{3\pi}{5}<0$ และ $\cos\frac{\pi}{5}<1$ ดังนั้น
$$\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{3\pi}{5}<\frac{3}{2}$$

$tan\frac{7\pi}{16} + tan\frac{3\pi}{8} = cosec\frac{\pi}{8}$ ?

Another solution

สังเกตว่า $\tan\theta$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$
$$\tan\frac{7\pi}{16}+\tan\frac{3\pi}{8}<\tan\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\pi}{4}=2$$
สังเกตว่า $\csc\theta$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$
$$csc\frac{\pi}{8}>csc\frac{\pi}{6}=2$$
ดังนั้น
$$\tan\frac{7\pi}{16} + tan\frac{3\pi}{8} < \csc\frac{\pi}{8}$$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shirouhi-lover

ข้อตรีโกณ ก.

$cos\frac{\pi }{5} + cos\frac{3\pi }{5}$

$=2cos\frac{2\pi}{5}cos\frac{\pi}{5} $

$=2sin\frac{\pi}{10}cos\frac{\pi}{5}\cdot \frac{cos\frac{\pi}{10} }{cos\frac{\pi}{10}} $

$=\frac{sin\frac{\pi}{5}cos\frac{\pi}{5} }{cos\frac{\pi}{10} }\cdot \frac{2}{2} $

$=\frac{sin\frac{2\pi}{5} }{2cos\frac{\pi}{10} } $

$=\frac{cos\frac{\pi}{10} }{2cos\frac{\pi}{10} } $

$=\frac{1}{2} $

ดังนั้น

$cos\frac{\pi }{5} + cos\frac{3\pi }{5} +cos\pi = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

$sin\frac{\pi}{10}$ มาไง อ่ะครับ

[shirouhi-lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

$sin\frac{\pi}{10}$ มาไง อ่ะครับ

คุณ Euler-Fermat หมายถึงจากบรรทัดที่ สอง ไปยัง บรรทัดที่สามใช่มั้ยคับ

$ cos( \frac{2\pi}{5} ) $

$= cos( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{10} )$

$= sin ( \frac{\pi}{10}) $