มีคำถามเกี่ยวกับการจัดเรียงบนวงกลมมาถามครับ เหมือนจะง่าย แต่เข้ามาดูก่อนก็แล้วกัน

[เอกสิทธิ์]

เหมือนจะง่าย แต่เอาเข้าจิรงหมูหินครับ

A , A , A , B , B , C , C , C
A , A , B , B , C , C , D , D
A , A , B , B , C , C , D , D , D

ใครพอจะรู้วิธีการแก้ปัญหานี้บ้าง ถ้าเป็นการสับเปลี่ยนตามแนวเส้นตรงก็พอจะถูไถ แก้ได้อย่างสบาย ๆ แต่พอมาเจอปัญหานี้ก็ยากเหมือนกันครับ แต่ถ้ามีสักตัวอักษรชนิดเดียวที่มี 1 ตัวอักษร ก็จะจับมาเป็นจุดหมุนได้ ก็จะแก้ปัญหานี้ได้ พอมาเจอแบบนี้แก้ไม่ออกเลยครับ

ใครรู้โปรดชี้แนะด้วยครับ

[Mathmatic]

ช่วยบอกโจทย์อีกครั้งได้ไหมครับ ไม่เข้าใจโจทย์

[เอกสิทธิ์]

A , A , A , B , B , C , C , C
จัดเรียงอักษรดังกล่าวเป็นวงกลมครับ
แต่ถ้ามีสักตัวอักษรชนิดเดียวที่มี 1 ตัวอักษร ก็จะจับมาเป็นจุดหมุนได้ ก็จะแก้ปัญหานี้ได้ พอมาเจอแบบนี้แก้ไม่ออกเลยครับ เพราะไม่รู้ว่าจะใช้อักษรตัวไหนเป็นจุดยึดดี

[nongtum]

ผมคิดว่าไม่จำเป็นต้องคิดว่าจะต้องตรึงตัวหมุนก่อนเรียงสับเปลี่ยนครับ กล่าวคือ คิดจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรภายในวงกลมก่อน (คิดว่าของมันต่างกันก่อน) ก่อนที่จะหารออกด้วยวิธีเรียงสับเปลี่ยนภายในของตัวอักษรที่เหมือนกันแต่ละตัวครับ

[~king duk kong~]

ของคุณ nongtum นี่หมายความว่าอย่างนี้รึเปล่าครับ
มี 8 ตัว จัดได้ 7!
มีตัวซ้ำ 3,2,3 ตัว
ได้ $\frac{8!}{3!2!3!}$

พอดียังงงๆอยู่อ่ะครับ

[nongtum]

#5
ผมหมายถึง $\frac{(8-1)!}{3!2!3!}=70$ ครับ

[เอกสิทธิ์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

#5
ผมหมายถึง $\frac{(8-1)!}{3!2!3!}=70$ ครับ

ขอบคุณมากครับ แต่มีทางเป็นไปได้ไหมครับที่มันจะหารไม่ลงตัว

ผมสงสัยอีกว่าผมดูจาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3293

พบว่าจะใช้ได้เมื่อ ห.ร.ม. เป็น 1 เท่านั้น แล้วถ้า ห.ร.ม. ไม่ใช่ 1 จะทำอย่างไรดีครับ

[nongtum]

#7
ลองอ่านความคิดเห็นของคุณ gonแล้วหรือยังครับ
ส่วนว่าทำไม ห.ร.ม. ต้องเป็น 1 ลองแจงกรณีที่มีของเหมือนกันสองคู่ แล้วจัดเรียงเป็นวงกลมดูครับ

[Little Penguin]

จำนวนวิธีเรียงของ $n$ ชิ้น โดยมี $k$ ชนิด ชนิดที่ $i$ มีของ $a_i$ ชิ้น เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (ของชนิดเดียวกัน ถือว่าเหมือนกัน) เป็นวงกลม เท่ากับ
$$\frac{1}{n}\sum_{d|h}\phi(d)\frac{(n/d)!}{\prod_{i = 1}^{k}(a_i/d)!}$$
เมื่อ $h=(a_1,a_2,\cdots,a_k)$ และ $\phi(d)$ คือ Totient function (หรืออีกในนามว่า phi function)

เช่น มี A 3 ตัว B 2 ตัว C 3 ตัว จะมีวิธีเรียงเป็นวงกลมทั้งหมด $$\frac{1}{8}\sum_{d|1}\phi(d)\frac{(8/d)!}{\prod_{i = 1}^{3}(a_i/d)!} =\frac{1}{8}\left(\frac{8!}{3!2!3!}\right)=\frac{(8-1)!}{3!2!3!}$$

Proof: Pólya enumeration theorem

[แม่ให้บุญมา]

ตกลงคิดง่ายๆตามที่คุณ nongtum แนะนำได้ทุกกรณีโดยไม่ต้องใช้สูตรนี้ได้ไหมครับ แม้ หรม จะไม่เท่ากับ 1

[แม่ให้บุญมา]

อ้อเข้าใจแล้วครับ กรณี หรม ของ ขนาดกลุ่ม ไม่เท่ากับ 1 ต้องใช้ สูตรที่อ้างอิงมานี้แทนที่ซับซ้อนเพิ่มขึ้นอีกนิดเดียว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

จำนวนวิธีเรียงของ $n$ ชิ้น โดยมี $k$ ชนิด ชนิดที่ $i$ มีของ $a_i$ ชิ้น เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (ของชนิดเดียวกัน ถือว่าเหมือนกัน) เป็นวงกลม เท่ากับ
$$\frac{1}{n}\sum_{d|h}\phi(d)\frac{(n/d)!}{\prod_{i = 1}^{k}(a_i/d)!}$$
เมื่อ $h=(a_1,a_2,\cdots,a_k)$ และ $\phi(d)$ คือ Totient function (หรืออีกในนามว่า phi function)

เช่น มี A 3 ตัว B 2 ตัว C 3 ตัว จะมีวิธีเรียงเป็นวงกลมทั้งหมด $$\frac{1}{8}\sum_{d|1}\phi(d)\frac{(8/d)!}{\prod_{i = 1}^{3}(a_i/d)!} =\frac{1}{8}\left(\frac{8!}{3!2!3!}\right)=\frac{(8-1)!}{3!2!3!}$$

Proof: Pólya enumeration theorem