|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
01 พฤษภาคม 2009, 09:49
|
||||
|
||||
ดัดแปลงมาจาก PRTST-2009
Credit
http://sites.google.com/site/pemooff...st/prtst-april Official Problem for $a,b,c\geq 0$ prove that $\sum_{cyc} a\sqrt{6a+21b}\leq \sqrt{8\sum_{cyc} a^3+30\sum_{cyc} a^2b+15\sum_{cyc} ab^2+84abc}$ โจทย์จริงค่อนข้างยาก เลยทำให้ง่ายลงหน่อย My easier version for everyone!! for $a,b,c\geq 0$ prove that $\sum_{cyc} a\sqrt{6a+21b}\leq \sqrt{10\sum_{cyc} a^3+33\sum_{cyc} a^2b+16\sum_{cyc} ab^2+66abc}$ 
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 
|
|
#2
01 พฤษภาคม 2009, 13:49
|
||||
|
||||
|
เป็นโจทย์ที่ "Hoad Jing" มากมาย
|
|
#3
01 พฤษภาคม 2009, 13:59
|
||||
|
||||
|
Hoad Jing แรพเลยหรอครับคุณ king of inequality 555555
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity
|
|
#4
01 พฤษภาคม 2009, 15:57
|
||||
|
||||
|
มันต้อง Hoad Jing แรพแน่นอนครับ คุณ Queen of inequality 555555
__________________
We are the world, we are the children. We are the ones who make a brighter day so let's start giving. There's a choice we're making we're saving our own lives. It's true we'll make a better day just you and me.... แมวูขึ้แพ้ - We are the world กาสร - We are the world คนจะยืนหยัดอยู่ยืนยง ไม่หลงมัวเมาเป็นอื่น เอาใหม่เมื่อล้ม สลบแล้วฟื้น กลับมายืนได้เอง คุณธรรมปักอยู่ในใจ ไม่ใช่แค่เป็นคนเก่ง ทำสิ่งที่รู้เพื่อคนทั้งหลาย ไม่ทำลายเสียเอง จึงอยู่นาน ...
|
|
#6
01 พฤษภาคม 2009, 16:48
|
||||
|
||||
|
Solution for Hoad Jing แรพ Official problem
โดยไม่เสียนัยเรา normalize ให้ $a+b+c=3$ จากอสมการโคชีเราได้ว่า $(\sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{4-b}}\sqrt{(4-b)(6a^2+21ab)})^2\leq (\sum_{cyc} \frac{a}{4-b})(\sum_{cyc} (4a+b+4c)(2a^2+7ab))= (\sum_{cyc} \frac{a}{4-b})(8\sum_{cyc} a^3+30\sum_{cyc} a^2b+15\sum_{cyc} ab^2+84abc)$ ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $(\sum_{cyc} \frac{a}{4-b})\leq 1 $ ซึ่งเป็นจริงจาก Hoad Jing แรพ inequality!!! ที่มี King of inequality ไปโพสไว้แล้วใน mathlinks (ถ้าขี้เกียจหา link วิธีพิสูจน์คือกระจายแล้วใช้ Am-Gm นิดหน่อย) โหดจริงๆเลยนะครับ แรพโย่ว!! 500 บาท ส่วนโจทย์ของผมค่อนข้างง่ายกว่านะครับเพราะไม่ได้ใช้อะไรเกี่ยวกับอสมการ Hoad Jing แรพเลย สำหรับทุกๆคนจริงๆนะครับเนี่ย จากใจ Queen of inequality เลยอะครับ 555
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity
|
|
#7
02 พฤษภาคม 2009, 11:06
|
||||
|
||||
|
Official Problem ถามว่ามันจะเป็นสมการเมื่อไรด้วย
__________________
We are the world, we are the children. We are the ones who make a brighter day so let's start giving. There's a choice we're making we're saving our own lives. It's true we'll make a better day just you and me.... แมวูขึ้แพ้ - We are the world กาสร - We are the world คนจะยืนหยัดอยู่ยืนยง ไม่หลงมัวเมาเป็นอื่น เอาใหม่เมื่อล้ม สลบแล้วฟื้น กลับมายืนได้เอง คุณธรรมปักอยู่ในใจ ไม่ใช่แค่เป็นคนเก่ง ทำสิ่งที่รู้เพื่อคนทั้งหลาย ไม่ทำลายเสียเอง จึงอยู่นาน ...
|
|
#8
02 พฤษภาคม 2009, 11:43
|
|||
|
|||
|
ผมเอาลิงค์มาให้เพื่อไขความกระจ่างละกันคับ เพิ่อตอบกรณี equality case แล้วก็เพื่อคนที่ขี้เกียจไปนั่ง search หาใน mathlinks
-(Hoad Jing แรพ inequality?)ให้ $a,b,c\geq 0$ โดยที่ $a+b+c=3$ แล้้ว $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a}{4-b}\leq 1$ พิสูจน์ (Credit: Rose-Joker) http://www.mathlinks.ro/viewtopic.ph...39807&t=271837 สังเกตว่าอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $(a=0$ หรือ $b=c$ หรือ $a=b$) และ ($2b=a+c$) จาก $a+b+c=3$ แล้ว $2b=a+c$ ได้ว่า $b=1$ ในกรณีที่ $b=c$ หรือ $a=b$ จะได้ว่า $(a,b,c)=(1,1,1)$ ส่วนในกรณีที่ $a=0$ จะได้ว่า $c=2$ นั่นคือ $(a,b,c)=(0,1,2)$ และการเรียงสับเปลียนแบบ cyclic -กลับมาที่อสมการโจทย์ คุณ rose-joker ตกไปนิดนึงครับว่าหาก $a=b=c=0$ แล้วอสมการจะเป็นสมการ เพราะว่าถ้า $a=b=c=0$ ต่อให้สเกลยังไง $a+b+c$ ก็ไม่เท่ากับ 3 ครับ ต้องแยกมาเป็นกรณีต่างหาก กลับมาที่อสมการโจทย์อีกครั้ง ตอนนี้ $(a,b,c)\not =(0,0,0)$ เราก็สามารถ normalize ให้ $a+b+c=3$ แล้วก็ทำตามที่คุณ rose-joker ทำ จึงได้ว่าอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่ออสมการ Hoad Jing แรพ เป็นสมการด้วย เพราะว่า $\displaystyle8\sum_{cyc} a^3+30\sum_{cyc} a^2b+15\sum_{cyc} ab^2+84abc>0$ ดังนั้นถ้าอสมการโจทย์ดั้งเดิม เป็นสมการแล้ว $a=b=c$ หรือว่า $a=0,2b=c$ สำหรับ $k\geq 0$ ใดๆ และการสับเปลี่ยนแบบ cyclic ด้วย แต่อย่าลืมสังเกตว่าตอนแรกสุดเราใช้โคชีไปแล้ว ก็มานั่งเช็คไล่กรณีครับว่าแต่ละกันใช้ได้หรือไม่ ซึ่งก็พบว่าใช้ได้ทุกกรณี ดังนั้นอสมการเป็นสมการ ก็ต่อเมื่อ $a=b=c$ หรือ $a=0,2b=c$ สำหรับ $k\geq 0$ ใดๆ และการสับเปลี่ยนแบบ cyclic ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ป.ล. ชื่ออสมการคือ Hoad Jing แรพ? !?!?  ทำไมมันชื่อประหลาดจังครับ?
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 
02 พฤษภาคม 2009 11:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 เหตุผล: ตกหล่น
|
|
#9
02 พฤษภาคม 2009, 15:49
|
||||
|
||||
|
วิธีของคุณ Rose_JoKer กับ beginner01 สวยดีครับ คุณ We are the world เกรียนได้ใจมากครับ
|
|
#10
02 พฤษภาคม 2009, 16:28
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
แล้วก็ถ้าอ่านในลิงค์ก็จะเห็นได้อีกว่าคุณ rose-joker เป็นคนพิสูจน์ไว้ใน mathlinks ด้วยครับ
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน
|
|
#11
02 พฤษภาคม 2009, 23:05
|
||||
|
||||
|
Hoad Jing Ineq <-> x+y+z=1 sigmacyc x^2y+xyz<=4/27
คนคิดโจทย์เซียนจริงครับ ในการโฮลด์ที่ไม่ธรรมดา
__________________
There are only two ways to live your life. One is as though nothing is a miracle. The other is as though everything is a miracle. 5th POSN: Gold medal IPST 2008: Gold medal Friendship: Dektep RoSe_JoKer Anonymous314 owlpenguin tatari_nightmare
02 พฤษภาคม 2009 23:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Juniors
|
| |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| Harder version of PrTST April, 2009 | We are the world | คอมบินาทอริก | 1 | 21 พฤษภาคม 2009 12:09 |
| Shortlist TMO 2009 มาแล้ว | littledragon | ข้อสอบโอลิมปิก | 4 | 01 พฤษภาคม 2009 16:27 |
| APMO 2009!! | tatari/nightmare | ข้อสอบโอลิมปิก | 2 | 17 เมษายน 2009 18:32 |
| USA AMC 10 2009 | Platootod | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 4 | 17 กุมภาพันธ์ 2009 15:37 |
| 2009 | Mathephobia | ทฤษฎีจำนวน | 18 | 05 มกราคม 2009 23:51 |
|
|
