ข้อสอบ สอวน ค่าย 3

[coke]

ข้อสอบค่าย 3 / 2555 ศูนย์สวนกุหลาบ

[polsk133]

ภาษาอังกฤษซะด้วยแฮะ

ขอบคุณที่เอามาแบ่งปันครับ

[PP_nine]

โหววว เดี๋ยวนี้ค่าย สอวน. เองก็ต้องโกอินเตอร์ซะแล้วว

ว่าแต่ AL นี่อาจารย์เค้าเขียนโจทย์บนกระดานแล้วแจกกระดาษใช่ไหมครับ เลยไม่มีตัวข้อสอบ (ปีก่อนๆอาจารย์ก็ทำแบบนี้)

[Pain 7th]

ผมจะเอารูปที่แสกนลงยังไงอ่ะครับ

ผมลงแล้วมันบอกว่าขนาดไฟล์ และ ขนาดภาพเกินกำหนด จะทำไงอ่ะครับ

[BLACK-Dragon]

เท่าที่ดูเรขาโหดมากๆครับ คาราวะศูนย์นี้จริงๆ

3.) (เรขาคณิต)

ได้แค่อันเดียวเองอ่ะครับ $XY||DE$ แล้ว $XB=XY$

โดย power of point จะได้ $XB^2=XC \cdot XA$ และผมให้ $M$ เป็นจุดตัดของ DE กับ AX

แต่ $XA = \dfrac{ XY \cdot MA}{ME}$ จะได้

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ XB^2= \dfrac{XC \cdot XY \cdot MA}{ME}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = XC^2 \cdot \dfrac{MD \cdot MA}{MC \cdot ME}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = XC^2 \cdot \dfrac{MD^2}{MC^2}$

$XB=XY$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 เรขา ลองเทียบอัตราส่วนพื้นที่ดูครับ และก็ใช้ Ceva's Theorem ครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ผมจะเอารูปที่แสกนลงยังไงอ่ะครับ

ผมลงแล้วมันบอกว่าขนาดไฟล์ และ ขนาดภาพเกินกำหนด จะทำไงอ่ะครับ

ลองพิมพ์ใน Word แล้ว PrintScreen มาครับ ใส่ใน Paint

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

เท่าที่ดูเรขาโหดมากๆครับ คาราวะศูนย์นี้จริงๆ

3.) (เรขาคณิต)

ได้แค่อันเดียวเองอ่ะครับ $XY||DE$ แล้ว $XB=XY$

โดย power of point จะได้ $XB^2=XC \cdot XA$ และผมให้ $M$ เป็นจุดตัดของ DE กับ AX

แต่ $XA = \dfrac{ XY \cdot MA}{ME}$ จะได้

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ XB^2= \dfrac{XC \cdot XY \cdot MA}{ME}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = XC^2 \cdot \dfrac{MD \cdot MA}{MC \cdot ME}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = XC^2 \cdot \dfrac{MD^2}{MC^2}$

$XB=XY$

ทำต่อละกัน

อีกขานึง $XB=XY$

$XB^2=(XA)(XC)=XY^2$

จะได้ว่า Circumcircle ของ ACY สัมผัส XY ที่ Y

น่าจะต่อได้นะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ทำต่อละกัน

อีกขานึง $XB=XY$

$XB^2=(XA)(XC)=XY^2$

จะได้ว่า Circumcircle ของ ACY สัมผัส XY ที่ Y

น่าจะต่อได้นะครับ

ผมลืม Circumcircle เลยอ่ะ

ติดนานมากอ่ะครับ 555555555

[BLACK-Dragon]

1.) กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม โดยที่ $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ จงพิสูจน์$$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq (\dfrac{2}{3})^{n-2} s^{n-1}$$

(Not Full) Solution

โดยความคิดพื้นฐานเลยคือ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ให้ $\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b}\geq (\dfrac{2}{3})^{n-2} s^{n-1}$ จริง

โดยไม่เสียนัย ให้ $a \geq b \geq c$ และโดย Chebyshev's Inequality เราจะได้

$$\dfrac{a^{n+1}}{b+c}+\dfrac{b^{n+1}}{c+a}+\dfrac{c^{n+1}}{a+b} \geq \dfrac{a+b+c}{3} (\sum_{cyc} \dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b}) = \dfrac{(a+b+c)^2}{6}(\dfrac{a+b+c}{3})^{n-2}= (\dfrac{2}{3})^{n-1}s^n$$


ps.ผมพิสูจน์ได้แค่ n เป็นจำนวนนับน่ะครับ

[gon]

ข้อ 4. combi ได้เท่านี้กันหรือเปล่าครับ.

Only_Answer

$3[\binom{12}{4}-(1\times9 + 2\times8 + 3\times7 + ... + 9\times1)] = 1485$

[~ArT_Ty~]

1.) กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม โดยที่ $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ จงพิสูจน์$$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq (\dfrac{2}{3})^{n-2} s^{n-1}$$

Solution

จาก Holder

$$(\sum_{cyc} \frac{a^n}{b+c} )(\sum_{cyc} b+c)(3)^{n-2}=(\sum_{cyc} \frac{a^n}{b+c} )(\sum_{cyc} b+c)(\sum_{cyc} 1)^{n-2}\geqslant (\sum_{cyc} a)^n$$

$$(\sum_{cyc} \frac{a^n}{b+c})\geqslant\frac{(\sum_{cyc} a)^n}{2\cdot 3^{n-2}(\sum_{cyc} a)}=(\frac{2}{3})^{n-2}s^{n-1}$$



ป.ล. แต่ผมไม่แน่ใจอ่ะครับว่าผมใช้ Holder ถูกมั้ย ถ้าผิดช่วยตักเตือนข้าน้อยด้วยเถิด

[BLACK-Dragon]

#12

สวยดีครับ

[จูกัดเหลียง]

#12,13 โหดกันจังครับ
ข้อ $3(FE)$ Let $x,y\in R$ and $$\frac{f(xy)}{2}+\frac{f(xz)}{2}-f(x)f(yz)\ge \frac{1}{4}$$ Find all $f:R\rightarrow R$
MY Unsure Soln
let $x,y,z=0$ then $(f(0)-1/2)^2\le 0$ so $f(0)=1/2$ and in the same part we get $f(1)=1/2$
let $y,z=0$ therefore $f(0)(1-f(x))\ge 1/4 \leftrightarrow f(x)\le 1/2$ and let $y=0,z=1$ so $f(x)(1-f(1))\ge 1/4\leftrightarrow f(x)\ge 1/2$
$\therefore f(x)=1/2$ for all $x\in R$

[จูกัดเหลียง]

1.GEO เห็นได้ชัดว่า $\Delta DBQ\sim \Delta CQH$
ทำให้ได้ว่า $CH=\dfrac{CQ}{QB}\cdot BD$
ทำนองเดียวกัน เลยได้ $CG=\dfrac{CR}{RA}\cdot AD$ ดังนั้น $$\frac{CG}{CH}=\frac{CR}{RA}\cdot\frac{AD}{BD}\cdot\frac{QB}{CQ}=1$$
โดย Ceva's Theorem
ปล.เหมือนที่ Art-ty Hint ไว้เลย 555