LQR Problem

[M@gpie]

มีคำถามครับ จากตัวอย่าง ปัญหา LQR (Linear Quadratic Regulator)
\[ \text{minimize}\;\; J=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N}(Qx_i^2 + Ru_i^2)\]
\[ \text{subject to}\; \; x_k = ax_{k-1} +bu_{k}, \; k=1,2,...,N, \;\; x_0\; \text{is given}\]
การปรับค่า $Q$ และ $R$ ก็จะมีหลักการว่า
ถ้าต้องการให้ค่า $x_i$ น้อยๆ จะต้องให้ค่า $Q$ มากกว่าค่า $R$ ในทางกลับกันต้องการให้ค่า $u_i$ น้อยๆ จะต้องให้ค่า $R$ มากกว่าค่า $Q$


ตามที่ผมเข้าใจคือเนื่องจาก ถ้า $Q$ มีค่าเยอะๆอยากให้ $J$ มีค่าต่ำสุด(เท่าที่ทำได้) $x_i$ จึงมีค่าน้อยๆ
ในทางกลับกัน ถ้า $R$ มีค่าเยอะๆ อยากให้ $J$ มีค่าต่ำสุด(เท่าที่ทำได้) $u_i$ จึงมีค่าน้อยๆ

คำถาม : ที่ผมเข้าใจถูกไหม?? แล้วพิสูจน์ได้รึเปล่าครับ??