ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 4: Another Log Problem

[warut]

จงหาจำนวนจริง \(x\) ทั้งหมดที่ทำให้\[\log_2(3+\sqrt[3]x)=\log_5x\]

[gools]

แทน $y=3+\sqrt[3]{x}$ เราจะได้สมการใหม่เป็น
\[\begin{array}{rcl}\log_2 y&=&\log_5(y-3)^3=3\log_5(y-3) \\
\frac{1}{3}\log_2y&=&\log_5(y-3) \\
\log_8 y &=& \log_5 (y-3)
\end{array}\]
ให้ $\log_8 y = \log_5 (y-3)=a$ จะได้ว่า
\[8^a-5^a=3\]
เห็นได้ชัดว่า $a=1$ และ $a$ ต้องเป็นจำนวนจริงบวก หรืออ $0$
เนื่องจาก $8^x \geq 5^x$ เสมอเมื่อ $x \geq 0$ และและจะมีค่าห่างกันมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อ $x$ มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น $f(x)=8^x-5^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มและเป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1
ดังนั้น $y=8^1=8$
เราจะได้ว่า $x=(y-3)^3=125$

Edit:ตอนแรกคิดได้ $x=5$ ต่างหาก แต่คุณ Mastermander ตอบไปก่อนแล้ว

[Mastermander]

ต่อจากแนวคิดของคุณ gool (ขอยืมหน่อยนะครับ)
เนื่องจาก y = 8
³ึx + 3 = 8
³ึx = 5
x = 125

[warut]

บอกเกี่ยวกับการพิมพ์ฟังก์ชันใน LaTeX นิดนึงครับ คือพวกฟังก์ชันมาตรฐานต่างๆ เช่น sin, ln, det นั้น เวลาพิมพ์ใน LaTeX ต้องพิมพ์ \ นำหน้าด้วยครับ เช่น \sin, \ln, \det การแสดงผลถึงจะออกมาถูกต้อง ลองเปรียบเทียบการแสดงผลนะครับ

ถ้าพิมพ์ว่า log ผลจะออกมาเป็น \(log\) ซึ่งยังไม่ถูกต้อง
ถ้าพิมพ์ว่า \log ผลจะออกมาเป็น \(\log\) ถึงจะถูกครับ

ใครมีความเห็นอะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อนี้เชิญเลยครับ

[warut]

ดีใจจริงๆที่คุณ gools มาแก้ไขข้อความแล้ว ผมจะได้แจกคะแนนเต็ม 5 คะแนนให้ไปซักที (ตอนนี้ผมไม่กล้าให้คะแนนเต็มใครไปก่อน แล้วบอกให้เขากลับไปแก้บางจุดแล้วล่ะ เฮ้อ)

ไม่ทราบว่ามีใครสังเกตหรือเปล่าว่าโจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ที่ผมเคยแต่งไว้และแปะไว้ที่กระทู้นี้ มาก่อนแล้ว