จำนวนเต็ม 3 ตัวที่ผลบวกและผลต่างเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง

[Switchgear]

มาแล้วครับเฉลยโจทย์ข้อ 2 ... หลังจากรอคอยกันมานานแสนนาน

มาดูกันครับว่าคราวนี้ Euler เขาจะใช้ลูกเล่นอะไรในการหาคำตอบออกมา ?


โจทย์ข้อ 2:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน $(x, y$ และ $z)$ ซึ่ง $x^2+y^2,\; x^2+z^2$ และ $y^2+z^2$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

เฉลยตามแนวคิดของ Euler

$\;\;\;$ เริ่มจากการหารด้วย $z^2$ แล้วจัดการทำให้ $\displaystyle \frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2},\; \frac{x^2}{z^2}+1$ และ $\displaystyle \frac{y^2}{z^2}+1$ เป็นจำนวนยกกำลังสอง

$\;\;\;$ เทอมที่สองกับสามทำให้เป็นจำนวนยกกำลังสองได้ โดยให้ $\displaystyle \frac{x}{z} = \frac{p^2-1}{2p}$ และ $\displaystyle \frac{y}{z} = \frac{q^2-1}{2q}$

ต่อไปก็เหลือเป้าหมายแค่ทำให้ $\displaystyle \frac{(p^2-1)^2}{4p^2} + \frac{(q^2-1)^2}{4q^2}$ หรือ $ q^2(p^2-1)^2 + p^2(q^2-1)^2$ เป็นจำนวนยกกำลังสอง

$\;\;\;$ เป้าหมายที่ว่านี้ยากที่จะหาคำตอบในรูปทั่วไปได้ ดังนั้นเราต้องเลี่ยงไปใช้ลูกเล่นพิเศษ ดังนี้

$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 1. เราทำให้เป้าหมายนั้นหารด้วย $(p+1)^2$ ลงตัว ซึ่งทำได้ง่ายมากโดยสมมติให้ $p+1 = q-1$ หรือ $q = p+2$

ส่งผลให้ $(p+2)^2(p-1)^2 + p^2(p+3)^2 = 2p^4 + 8p^3 + 6p^2 - 4p + 4$ ต้องเป็นจำนวนยกกำลังสอง

$\;\;\;$ สมมติให้ $2p^4 + 8p^3 + 6p^2 - 4p + 4 = (gp^2 + fp +2)^2$

และเลือก $f,\;g$ ที่ทำให้เทอมของ $p,\;p^2$ หายไป นั่นคือให้ $f = -1$ และ $4g+1 = 6$ หรือ $g = \frac54$

ตอนนี้เราได้ว่า $2p + 8 = g^2p + 2fg = \frac{25}{16}p - \frac52$ ซึ่งจะได้ $p = -24$ และได้ $q = -22$ ดังนั้น

$\displaystyle \frac{x}{z} = \frac{p^2-1}{2p} = -\frac{575}{48}$ และ $\displaystyle \frac{y}{z} = \frac{q^2-1}{2q} = -\frac{483}{44}$

เมื่อให้ $z = 3 \cdot 11 \cdot 16$ ซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ $48$ และ $44$ เราก็จะได้คำตอบ คือ

$x = 11 \cdot 23 \cdot 25 = 6325,\;\; y = 12 \cdot 21 \cdot 23 = 5796,\;\; z = 3 \cdot 11 \cdot 16 = 528$

ตรวจสอบคำตอบได้ดังนี้

$x^2+y^2 = 23^2(275^2 + 252^2) = 23^2 \cdot 373^2$
$x^2+z^2 = 11^2(575^2 + 48^2) = 11^2 \cdot 577^2$
$y^2+z^2 = 12^2(483^2 + 44^2) = 12^2 \cdot 485^2$

$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 2. Euler หาคำตอบเพิ่มเติมได้อีก (แต่ไม่ค่อยน่าสน) โดยสมมติให้ $q-1 = 2(p+1)$

$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 3. Euler หาคำตอบเพิ่มเติมได้อีก (ไม่ค่อยน่าสนนัก) โดยสมมติให้ $q-1 = \frac43(p-1)$

$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 4. เราทำให้เป้าหมายนั้นหารด้วย $(p+1)^2$ และ $(p-1)^2$ ลงตัวพร้อมกัน โดยสมมติให้ $\displaystyle q = \frac{pt+1}{p+t}$
ซึ่งทำให้ $\displaystyle q+1 = \frac{(p+1)(t+1)}{p+t}$ และ $\displaystyle q-1 = \frac{(p-1)(t-1)}{p+t}$

แทนค่า $q$ ในรูปของ $p,\;t$ ลงใน $q^2(p^2-1)^2 + p^2(q^2-1)^2$ แล้วหารด้วย $(p^2-1)^2$ จะได้

$\displaystyle \frac{(pt+1)^2}{(p+t)^2} + \frac{p^2(t^2-1)^2}{(p+t)^4}$

นั่นคือเราต้องทำให้ $(pt+1)^2(p+t)^2 + p^2(t^2-1)^2$ เป็นจำนวนยกกำลังสอง

หรือ $t^2p^4 + 2t(t^2+1)p^3 + \{2t^2+(t^2+1)^2+(t^2-1)^2\}p^2 + 2t(t^2+1)p + t^2$ ต้องเป็นจำนวนยกกำลังสอง

เมื่อเราเทียบมันให้เท่ากับ $\{tp^2 + (t^2+1)p - t\}^2$ จะพบว่า

$\{2t^2+(t^2+1)^2+(t^2-1)^2\}p + 2t(t^2+1) = \{(t^2+1)^2-2t^2\}p - 2t(t^2+1)$

ทำให้เราได้สมการ $\{4t^2 + (t^2-1)^2\}p + 4t(t^2+1) = 0$ ซึ่งแก้สมการได้ว่า $\displaystyle p = -\frac{4t}{t^2+1}$

ผลที่ตามมาคือ $\;\;\displaystyle pt+1 = -\frac{3t^2+1}{t^2+1},\;\; p+t = -\frac{t^3-3t}{t^2+1}\;\;$ และ $\;\;\displaystyle q = -\frac{3t^2+1}{t^3-3t}$

โดยที่ $t$ เป็นค่าใดๆ ที่เลือกได้ตามใจชอบ (แต่อย่าให้ผิดหลักคณิตศาสตร์!)


.
ผู้อ่านลองคิดส่วนที่เหลือต่อดูก่อน ผมจะค่อยๆ เติมเฉลยให้ครับ

[Switchgear]

เป็นไงบ้างครับเฉลยโจทย์ข้อ 2 แบบครบถ้วนทั้ง 4 ลูกเล่นของ Euler

จะเห็นได้ว่าผลลัพธ์ของลูกเล่นที่ 4 ทำให้เราหาชุดคำตอบได้มากมายไม่รู้จบ

ตัวอย่างเช่น เราเลือก $\;t = 2$ ทำให้ได้ $\;\displaystyle p = -\frac{8}{5},\;\; q = -\frac{11}{2}$ และ

$\displaystyle \frac{x}{z} = \frac{p^2-1}{2p} = -\frac{39}{80}$ และ $\displaystyle \frac{y}{z} = \frac{q^2-1}{2q} = -\frac{117}{44}$

เมื่อให้ $z = 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 11$ ซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ $80$ และ $44$ เราก็จะได้คำตอบ คือ

$x = -3 \cdot 11 \cdot 13 = 429,\;\; y = -4 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 13 = 2340,\;\; z = 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 11 = 880$

ตรวจสอบคำตอบได้ดังนี้

$x^2+y^2 = 3^2 \cdot 13^2(121 + 3600) = 3^2 \cdot 13^2 \cdot 61^2$
$x^2+z^2 = 11^2(1521 + 6400) = 11^2 \cdot 89^2$
$y^2+z^2 = 20^2(13689 + 1936) = 20^2 \cdot 125^2$

[Switchgear]

สำหรับข้อที่เหลือ จะพยายามหาเวลาแวะมาเฉลยเรื่อยๆ ... อย่าลืมติดตามอ่านนะครับ