ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ

[Switchgear]

พรุ่งนี้พอหายมึนแล้ว ผมค่อยมาโพสต์โจทย์เพิ่มเติมให้อีก
เพิ่งจะบอกโจทย์ไปแค่ 3 ใน 24 ข้อเท่านั้น ... น้อยมาก

[Switchgear]

มาดูกันครับว่าโจทย์ข้อที่ 4 ของชุดนี้ว่าอย่างไรบ้าง

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 4:
To find $n$ consecutive numbers in the natural series, such that the sum of their cubes shall itself
be a cube, $n$ beings a cube.

ปัญหาข้อ 4:
จงหาจำนวนธรรมชาติที่เรียงต่อกัน $n$ ตัว ซึ่งตัวมันเองและผลรวมของแต่ละตัวยกกำลังสามต่างก็เป็นจำนวนกำลังสาม

-----------------------------------------------------------------------------------------------

โจทย์สั้นแค่นี้ แต่ไม่รู้ว่าต้องคิดและเฉลยยาวแค่ไหน

[Switchgear]

วันนี้ผมเพิ่งได้บทความเก่าแก่ฉบับหนึ่งมา เป็นการหาผลรวมของจำนวนเต็มกำลังห้าหลายๆ จำนวน ที่ให้ผลลัพธ์เป็นกำลังห้าเช่นกัน

เรารู้มาแล้วจาก Fermat's Last Theorem ว่า $x^5 + y^5 = z^5$ ไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม หมายความว่ากำลังห้า 2 ตัว
รวมกันไม่มีทางเป็นกำลังห้าได้

ปัญหาที่ต้องคิดต่อไป คือ ถ้ากำลังห้า 3, 4, 5, 6, ... จำนวนล่ะ จะให้ผลรวมเป็นกำลังห้าได้หรือไม่ ?
ประเด็นนี้ Fermat's Last Theorem ไม่ได้พูดถึง และก็ไม่มีที่ไหนที่ยืนยันหรือปฏิเสธไว้ด้วย

คุณละครับ คิดว่าต้องมีกำลังห้าอย่างน้อยกี่จำนวน จึงจะให้ผลรวมเป็นกำลังห้าได้ ?

บทความที่ผมเพิ่งได้มา ศึกษาประเด็นนี้โดยเฉพาะ ... ลองคิดดูซักพักก่อน แล้วผมจะมาเฉลยให้

[Switchgear]

คุณละครับ คิดว่าต้องมีกำลังห้าอย่างน้อยกี่จำนวน จึงจะให้ผลรวมเป็นกำลังห้าได้ ?

ประเด็นนี้ผู้เขียนบทความคือ Artemas Martin of Washington บอกไว้ว่าเขาไม่เคยค้นพบกรณีของ 3, 4 หรือ 5 จำนวน
ที่ให้ผลรวมเป็นกำลังห้า นั่นคือต่ำสุดต้องใช้ 6 จำนวน (แต่ไม่มีการพิสูจน์ ใครอยากลองค้นหาข้อแย้งก็เชิญได้ครับ)

ตัวอย่างของ $6$ จำนวน คือ $4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5 = 12^5$

ตัวอย่างที่ประกอบด้วยหลายจำนวนมาก (ลองนับเองว่ากี่จำนวน) คือ
$4^5+5^5+6^5+7^5+8^5+9^5+10^5+11^5+14^5+18^5+22^5+26^5+$
$30^5+32^5+34^5+36^5+38^5+40^5+42^5+44^5+46^5+$
$50^5+54^5+56^5+58^5+60^5+62^5+64^5+66^5+68^5+70^5 = 100^5$

เป็นไงครับผลลัพธ์ยาวสะใจหรือเปล่า ?

[Switchgear]

นอกจากหาผลรวมกำลังห้าให้ได้กำลังห้าแล้ว เจ้าของบทความยังอุตส่าห์ค้นพบผลรวมกำลังห้าบางชุดที่ให้ผลเท่ากันอีกด้วย ... ลองดูครับ

$1^5+6^5+9^5+11^5+22^5 = 12^5+16^5+21^5$
$1^5+5^5+10^5+13^5+14^5 = 8^5+9^5+11^5+15^5$

แต่ที่สวยงามกว่าก็คือกรณีที่แต่ละข้างของสมการมีจำนวนพจน์เท่ากัน เช่น
$10^5+22^5+32^5+38^5+58^5 = 25^5+30^5+35^5+45^5+55^5$
$2^5+4^5+5^5+6^5+14^5+20^5+24^5 = 3^5+7^5+10^5+11^5+12^5+17^5+25^5$

เป็นไงครับ ทึ่งความพยายามเขาเลย

[Switchgear]

ผมคั่นเวลาด้วยเรื่องของกำลังห้าพอสมควรแล้ว ... กลับมาสู่การเฉลยปัญหาข้อที่ 3 กันดีกว่า
.

Problem 3:
It is required to find three whole numbers in arithmetical progression, such that
their common difference shall be a cube;
the sum of any two, diminished by the third, a square;
and the sum of the roots of these squares a square.

ปัญหาข้อ 3:
จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต ซึ่ง
ผลต่างร่วมต้องเป็นจำนวนยกกำลังสาม;
ผลรวมทีละสองจำนวนลบด้วยจำนวนที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสอง;
ผลรวมรากของจำนวนยกกำลังสองเหล่านี้เป็นจำนวนยกกำลังสอง.


วิธีทำ
ให้จำนวนเต็ม 3 ตัวที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต คือ $x^2-xy+y^2,\; x^2+y^2,\; x^2+xy+y^2 \;$
ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตมีค่าเป็น $xy^2$

ผลรวมทีละสองจำนวนลบด้วยจำนวนที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสอง นั่นคือ
$x^2-2xy+y^2 = sq. \;... [1],\;\;\; x^2+y^2 = sq. \;... [2],\;\;\; x^2+2xy+y^2 = sq. \;... [3]$
จำนวนที่ $[1]$ กับ $[3]$ เป็นกำลังสองอยู่แล้ว เราต้องทำให้จำนวนที่ $[2]$ แรกเป็นกำลังสอง โดยให้ $x = r^2-s^2,\;\; y = 2rs$ และให้ $y > x$ เมื่อแทนลงไปใน $[1],\;[2],\;[3]$ ก็จะกลายเป็นกำลังสองทั้งหมด คือ
$(-r^2+2rs+s^2)^2,\;\; (r^2+s^2)^2,\;\; (r^2+2rs-s^2)^2$

ผลรวมรากของจำนวนยกกำลังสองเหล่านี้เท่ากับ $r^2+4rs+s^2 = sq.\;... [4]$

เมื่อให้ $r^2+4rs+s^2 = (r+ns)^2$ จะได้ $\displaystyle r = \frac{(n^2-1)s}{4-2n}$ เลือก $\displaystyle n = \frac32$ จะได้ $\displaystyle r = \frac{5s}{4},\;\; x = \frac{9s^2}{16},\;\; y = \frac{10s^2}{4},\;\; xy = \frac{90s^4}{64} = \frac{3^2 \cdot 10s^4}{2^6}\;... [5]$

ตัวเลขทั้งสามที่สมมติไว้กลายเป็น $\displaystyle \frac{1321\cdot s^4}{2^8} \;... [6],\;\;\; \frac{1681\cdot s^4}{2^8} \;... [7],\;\;\; \frac{2041\cdot s^4}{2^8} \;... [8]$

ตอนนี้ผลต่างร่วมเป็น $\displaystyle xy = \frac{3^2 \cdot 10\cdot s^4}{2^6}$ ซึ่งทำให้เป็นกำลังสามได้โดยให้ $s = 3 \cdot 10^2 \cdot t^3\;\;$ จะได้ $\displaystyle xy = \frac{3^6 \cdot 10^9 \cdot t^12}{2^6} = \left(\frac{3^2 \cdot 10^3 \cdot t^4}{2^2}\right)^3$

สมการใน $[6],\;[7],\;[8]$ จะเปลี่ยนเป็น $ 1321 \cdot 5^8 \cdot 3^4 \cdot t^{12},\;\; 1681 \cdot 5^8 \cdot 3^4 \cdot t^{12},\;\; 2041 \cdot 5^8 \cdot 3^4 \cdot t^{12} $

ชุดตัวเลขนี้จะง่ายที่สุดเมื่อให้ $t = 1$ ... นั่นคือเราหาชุดคำตอบจำนวนเต็มได้มากมายไม่รู้จบ โดยการแทนค่า t ตามที่ต้องการ

.
เมื่อเปรียบเทียบกับเฉลยข้อ 2 จะพบว่า คำตอบของข้อนี้ง่ายกว่าเดิมเยอะเลย

[Switchgear]

เป็นยังไงกันบ้างครับ คำตอบของข้อ 3 ง่ายกว่าข้อ 2 ตรงตามที่เพื่อนๆ คาดคิดไว้หรือเปล่า ?

สำหรับข้อ 4 ค่อยหาเวลามาเฉลยต่อ ... พร้อมทั้งโพสต์โจทย์เพิ่มเติมด้วย

[Switchgear]

ไม่ได้เติมโจทย์ให้นานแล้ว ... มาดูกันครับว่าโจทย์ข้อที่ 5 ถามว่าอะไร

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 5:
To find a cube number of numbers which are cubes whose roots are consecutive numbers of the natural series.


ปัญหาข้อ 5:
จงหาจำนวนเต็มที่เรียงกันเป็นจำนวน "กำลังสาม" ตัว ซึ่งผลรวมของแต่ละตัวยกกำลังสามให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนกำลังสามด้วย

-----------------------------------------------------------------------------------------------

โจทย์สั้นแค่นี้ แต่ไม่รู้ว่าต้องคิดและเฉลยยาวแค่ไหน

[Switchgear]

ยังไม่ว่างเฉลยแบบยาวๆ แต่แวะเอาโจทย์มาให้อีก

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 6:
То find $n$ square numbers such that if each be either increased or diminished by its root multiplied by some number, the respective sums and differences shall be squares.


ปัญหาข้อ 6:
จงหาจำนวนเต็มยกกำลังสอง $n$ ตัว ซึ่งเมื่อบวกหรือลบมันด้วยผลคูณระหว่างเลขฐานกับจำนวนเต็มบางตัวแล้ว จะให้ผลบวกและผลต่างที่ว่านั้นเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองด้วย

อธิบายโจทย์ให้กระจ่างอีกทีก็คือให้หา $x^2 \pm ax = sq.,\; y^2 \pm by = sq.,\; z^2 \pm cz = sq.,\; ...$
คิดว่าบอกแบบนี้น่าจะเข้าใจสิ่งที่โจทย์ต้องการมากขึ้น (โจทย์ชุดนี้อ่านคำถามแล้วแทบบ้าทุกข้อเลย )

-----------------------------------------------------------------------------------------------

ใครอยู่ว่างๆ เหงาๆ ลองคิดโจทย์พวกนี้ฆ่าเวลาก็ได้ครับ ... รับรองฆ่าได้หลายชั่วโมง

[Switchgear]

ตามด้วยโจทย์ข้อ 7 ซะเลย ซึ่งดูแล้วเหมือนถามต่อจากข้อ 6 ก็เลยโพสต์ต่อเนื่องทีเดียว

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 7:
To find a common value of $x$ that will make $x^2 \pm ax = sq.,\; x^2 \pm bx = sq.,\; x^2 \pm cx = sq.,\; ...$


ปัญหาข้อ 7:
จงหาจำนวนเต็ม $x$ ซึ่งจะทำให้ $x^2 \pm ax = sq.,\; x^2 \pm bx = sq.,\; x^2 \pm cx = sq.,\; ...$

คราวนี้ไม่ต้องอธิบายโจทย์ให้กระจ่างอีก เพราะเขาถามตรงมากแล้ว

-----------------------------------------------------------------------------------------------

ไม่รู้ว่าข้อนี้จะคิดง่ายหรือยากกว่าข้อ 6

[Switchgear]

ดูโจทย์แต่ละข้อแล้ว โหดสุดๆ ผมว่าถ้าใครคิดเองออกซักข้อ ก็สุดยอดแล้ว ...
นี่คือแนวโจทย์ที่คอมพิวเตอร์ช่วยเราได้ไม่มากนัก

[ช า ติ]

สมาชิกมาใหม่ ขอฝากเนื้อฝากตัวครับ

อ่านกระทู้นี้ แม้ผมจะอ่านไม่รู้เรื่องมากนัก
แต่ขณะอ่านรู้สึกตื่นเต้นมาก แทบลืมหายใจ
เหมือนกำลังดูมหากาพย์เรื่องเยี่ยมทีเดียว

[gon]

ยินดีต้อนครับ คุณ ชาติ

[Switchgear]

มีข่าวใหญ่จะแจ้งให้ผู้ติดตามกระทู้นี้ทราบ ...

ตอนนี้เราได้คำตอบของ Problem 1 ที่เล็กกว่าค่าที่ผมเคยเฉลยเอาไว้ (เล็กกว่ามากด้วย)
เป็นผลงานของยอดฝีมือ Batominovski ใน วิชาการ.คอม

http://www.vcharkarn.com/include/vca....php?Pid=92580

ผมเช็คแล้วคำตอบถูกต้อง

[gon]

เห็นชื่อคุณ Batominovski ชวนให้ผมนึกถึงเกมที่เคยเล่นฟุตบอลโลก 98 ที่ผมเคยติดอยู่ช่วงหนึ่ง สไต๊รคอฟ --> ยั้งคอฟ --> อีดินอฟ --> Attack !! นี่คือยิงประตูเข้านะครับ.

ว่าแต่รู้สึกว่ากระทู้ทำไมมันเพี้ยนไปเอียงขวาหมดเลย สงสัยอิงแต่โค้ดของ IE อย่างเดียวแน่เลยครับ. (Firefox)