Diophantine Equation

[dektep]

จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
$x^2+7 =2^n$
เมื่อ $x,n \in \mathbb{Z}$
ปล.ข้อนี้ผมเอามาจากเพื่อนตอนนี้ยังทำไม่ได้ครับ

[หยินหยาง]

มีเฉลยหรือเปล่าครับ
ผมหาคำตอบของ $(n,x) $ ได้ดังนี้ แต่ก็ยังไม่แน่ใจเท่าไร
$(3,\pm 1)$
$(4,\pm 3)$
$(5,\pm 5)$
$(7,\pm 11)$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มีเฉลยหรือเปล่าครับ
ผมหาคำตอบของ $(n,x) $ ได้ดังนี้ แต่ก็ยังไม่แน่ใจเท่าไร
$(3,\pm 1)$
$(4,\pm 3)$
$(5,\pm 5)$
$(7,\pm 11)$

ผมก็หาได้เท่านี้เหมือนกันครับ แต่ว่าไม่รู้ว่าคำตอบครบหรือเปล่าครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ผมก็หาได้เท่านี้เหมือนกันครับ แต่ว่าไม่รู้ว่าคำตอบครบหรือเปล่าครับ

ใช้หลักคิดอย่างไรครับ

[dektep]

ข้อนี้ยากจริง ๆ เลยครับคำตอบข้างบนไม่ครบแน่นอนครับ
เพราะผมหาได้ $x=181, n=15$ อีก $1$ คำตอบครับ
ส่วนวิธีคิดตอนนี้ยังหาไม่ได้ครับ

[Anarist]

ข้อนี้เป็นโจทย์ที่มีชื่อเสียงพอสมควรเลยครับ เรียกว่า Ramanujan-Nagell Equation
เพราะถูกตั้งโดยรามานุจันเมื่อปี 1913 โดยเค้าคิดว่าคำตอบมีเพียง 5 ค่า (ที่ข้างบนหากันได้) คือ n = 3,4,5,7,15
แล้วก็ถูกแก้ได้โดย Nagell ในปี 1948 แล้วจากนั้นก็มีหลายคนเสนอหลายๆวิธีพิสูจน์

บทพิสูจน์ทั้งหมดใช้เครื่องมือคณิตศาสตรในสาขา Algebraic Number Theory
โดยเราแยกตัวประกอบ $2^n = x^2 + 7 = (x + \sqrt{-7})(x- \sqrt{-7})$
แล้วก็ใช้ความรู้ว่า algebraic integer ใน $\mathbb{Q}[\sqrt{-7}]$ แยหตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization)
จากตรงนี้ปัญหาจะถูกลดลงเหลือแค่พิสูจน์ว่าลำดับ ${b_n}$ where $ b_1 = b_2 = 1 , b_{n+1} = b_n - 2 b_{n-1}$ มีค่าเป็น $\pm 1$ แค่ตอน $n = 1,2,3,5,13$ (อันนี้พอจะพิสูจน์โดยไม่ต้องใช้เครื่องมือได้)

ึคือผมก็นั่งทำอยู่นานมากเหมือนกัน ก็เลยลองเสิร์ชหาคำตอบดูก็เจอเลย
ลองดูรายละเอียดเพิ่มได้ที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan-Nagell_equation
แล้วพรูฟที่ http://www.jstor.org/view/00029890/d...3&config=jstor

[RoSe-JoKer]

มันเป็นโจทย์ใน PEN ด้วยนิ . . . เอาไปช่วยผมคิดอีกข้อละกันนะครับ ^^

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
$x^2+7 =2^n$
เมื่อ $x,n \in \mathbb{Z}$
ปล.ข้อนี้ผมเอามาจากเพื่อนตอนนี้ยังทำไม่ได้ครับ

เพิ่งอ่านเจอปัญหาคล้ายๆกันแต่ง่ายกว่าจากหนังสือ Solving Mathematical Problems : A Personal Perspective ของ Terence Tao ครับ

จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
$x^2 = 2^n + 7$
เมื่อ $x,n \in \mathbb{Z}$

[Anarist]

ข้างบนมีคำตอบเดียวคือ n = 1, x =+-3 ครับ ง่ายลงแล้วก็ doable ขึ้นเยอะเลย

แอบไปดูใน amazon มา หนังสือของคุณ nooonuii ดูดีน่าอ่านจังเลยครับ อยากได้บ้าง (ชอบ Terence Tao เป็นการส่วนตัวด้วย)
้เล่มนึงที่ผมเพิ่งได้มาไม่นานชื่อ Putnam & Beyond by Titu Andesscu (ชื่อที่คุ้นเคย) เล่มนี้จะมีเนื้อหา undergrad ไว้เตรียมสอบ Putnam ด้วย
โจทย์เยอะมาก แถมมี hint,solution ให้ครบหมดเลย ผมว่าดีมากเลย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anarist

ข้างบนมีคำตอบเดียวคือ $n = 1, x =\pm 3$ ครับ ง่ายลงแล้วก็ doable ขึ้นเยอะเลย

แอบไปดูใน amazon มา หนังสือของคุณ nooonuii ดูดีน่าอ่านจังเลยครับ อยากได้บ้าง (ชอบ Terence Tao เป็นการส่วนตัวด้วย)
้เล่มนึงที่ผมเพิ่งได้มาไม่นานชื่อ Putnam & Beyond by Titu Andesscu (ชื่อที่คุ้นเคย) เล่มนี้จะมีเนื้อหา undergrad ไว้เตรียมสอบ Putnam ด้วย
โจทย์เยอะมาก แถมมี hint,solution ให้ครบหมดเลย ผมว่าดีมากเลย

ของ Titu มีเกือบยกชุดแล้วครับ แต่ยังไม่มีเวลาอ่านเลย

ของ Terence Tao มีแบบ e-book ครับ แต่คิดว่าจะซื้อของจริงเร็วๆนี้

[polarbear]

อยากรู้ว่า x^3+y^3 = 1 เนี่ยเป็นไปได้มั๊ยคะ ถ้า x กะ y ต้องเป็นจำวนเต็มบวกอะค่ะ ช่วยบอกวิธีคิดด้วยนะคะ

[owlpenguin]

ไม่ได้อยู่แล้วนี่ครับ... ก็ $0<x\leq 1$ และ $0<y\leq 1$ ดังนั้น $x=y=1$ แต่ว่าคำตอบชุดนี้ใช้ไม่ได้
แต่จริงๆแล้วมันก็คือ Fermat's Last Theorem กรณี $n=3,c=1$ นั่นเองครับ

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
$x^2+7 =2^n$
เมื่อ $x,n \in \mathbb{Z}$
ปล.ข้อนี้ผมเอามาจากเพื่อนตอนนี้ยังทำไม่ได้ครับ

มีวิธีพื้นฐานหรือเปล่าครับ งงมากเลย Algebraic Number Theory

[owlpenguin]

คิิดว่าไม่มีนะครับ เพราะถ้ามี มันก็คงจะมีคนบางคนทำวิธีพื้นฐานออกแล้วครับ

คุณ anonymous314 พูดแบบนี้คล้ายกับว่าคุณอ่านเลขมาลึกพอสมควรเลยนะครับ เพราะดูจากที่คุณ anarist เขียน คงต้องรู้เรื่อง abstract algebra แน่ๆล่ะครับ

ว่าแต่ข้อของคุณ RoSe-JoKer โพสต์ไว้นี่ทำยังไงครับ...

[หยินหยาง]

ข้อที่ว่า Solve in positive integers the equation $10^a+2^b-3^c = 1997$ ผมได้

คำตอบ

$a = 3, b = 10, c = 3$