Please check answer

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

Let $2^{2^{2n+1}}+3$ is prime number that >3 we get
Case1
$2^{2^{2n+1}}+3 \equiv -1(mod 6)$
$2^{2^{2n}} \equiv -1(mod 6)$

ไม่ได้ครับ เพราะ $(4,6)\not = 1$

[CmKaN]

8.Find เศัษ from $1000|2^{2^{2004}}$

[owlpenguin]

ทำไมโจทย์มันมาไม่หยุดยั้งเลยล่ะเนี่ย
9.

Solution

จาก $2^{\phi(25)}\equiv 2^{20}\equiv 1\pmod{25}$
$\therefore 2^{2004}\equiv 2^4\pmod{25}$
และจาก $2^{2004}\equiv 2^4\pmod{4}$
$\therefore 2^{2004}\equiv 2^4\equiv 16\pmod{100}$
ดังนั้น มี $k\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $2^{2004}=100k+16$

จาก $2^{\phi(125)}\equiv 2^{100}\equiv 1\pmod{125}$
$\therefore 2^{2^{2004}}\equiv 2^{16}\pmod{125}$
และจาก $2^{2^{2004}}\equiv 2^{16}\pmod{8}$ ได้ว่า
$2^{2^{2004}}\equiv 2^{16}\equiv 536\pmod{1000}$
ดังนั้นเศษจากการหาร $2^{2^{2004}}$ ด้วย $1000$ เท่ากับ $536$

[CmKaN]

10.Find all primenumber $p$ that $p^{2}+2543$have positive factor that different less than 16

[dektep]

ข้อ 10 นี่ให้หา p ที่ทำให้มีตัวประกอบที่มีผลต่างน้อยกว่า 6

[owlpenguin]

เค้าน่าจะหมายความว่ามีตัวประกอบที่เป็นบวกแตกต่างกันน้อยกว่า 6 ตัว
ถ้าจำไม่ผิด อันนี้เป็นโจทย์ TMO ครับ

[dektep]

ถ้าเป็นโจทย์ TMO จะต้องหา $p$ ที่ทำให้ $p^2+2543$ มีตัวประกอบน้อยหว่า $16$ ตัว

[owlpenguin]

อุ่ย.. โทดทีครับ แต่คิดว่าใช้วิธีเดียวกันได้

[CmKaN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ถ้าเป็นโจทย์ TMO จะต้องหา $p$ ที่ทำให้ $p^2+2543$ มีตัวประกอบน้อยหว่า $16$ ตัว

arrr. so Sorry the problem is ^
^
^

[CmKaN]

??? Please look that am I in the correct way
$p \equiv 1,-1 \pmod 6$
$p=6k+1,6m-1 ,k,m \in \mathbb{N} $
$(6k\pm 1)^{2}+2543$
$12(3k^{2} \pm k+ 212)$
$2^{2}3(3k^{2} \pm k+ 212)$
$\because 16=16\times 1=8 \times 2 =4\times 2 \times 2= 2\times 2\times 2\times 2$
((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15))<<<will not happen
$\therefore (3k^{2} \pm k+ 212)=2^{5},2x ,x\in \mathbb{P}$
$3k^{2} \pm k+ 212=2^{5} \rightarrow 3k^{2} \pm k +180=0$<<< not gonna happen
$\therefore 3k^{2} \pm k+ 212=2x,x\in \mathbb{P}$
$k(3k \pm1) =2(x-106)$
$\because x-106 \in \mathbb{N} \therefore 2|k \vee 2|3k \pm 1$
$\because x$ is odd number $\therefore x-106$ is odd number
case 1
$2|k$
$k=2m,m\in \mathbb{N}$
$\therefore k=2$--->$p=13$
case 2
$2|3k \pm 1$
and then I don't know what to do

[CmKaN]

next problem 11.Find positive integer $x$ that smallest that $2^{2548}|x^{2005}+1$(((want Hint)))

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

11.Find smallest positive integer $x$ such that $2^{2548}|x^{2005}+1$

Hint:

$2^{2548}|x^{2005}+1$ สมมูลกับ $(-x)^{2005}\equiv 1 \pmod{2^{2548}}$

คิดว่าจำนวนเต็มบวกในช่วง $1,2,...,2^{2548}-1$ มีกี่จำนวนที่มีคุณสมบัตินี้ครับ

[CmKaN]

12.Given $a_{n}=2^{3n-1}+6^{6n-2}+5^{6n-3}$ Find gcd$ ({a_{1},a_{2},...,a_{2549}})$((Plese Hint)

P.S. Please check my solution problem10

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

12.Given $a_{n}=2^{3n-1}+6^{6n-2}+5^{6n-3}$ Find gcd$ ({a_{1},a_{2},...,a_{2549}})$((Plese Hint)

รู้สึกว่าข้อนี้จะง่ายผิดปกติ ลองเช็คโจทย์ดูอีกทีนะครับ ว่าพิมพ์ตกหล่นหรือเปล่า

Hint:

$(a_1,a_2,...,a_{2549})$ หาร $(a_1,a_2)$ ลงตัว

[CmKaN]

13. Find all $p \in \mathbb{P}$ such that $5^{p^{2}+1} \equiv 0 \pmod{p^{2}}$

P.S. kor 12 dai laew krub