The problem about 0^0 and 0/0

[Counter Striker]

I got a problem...

---------------------------------------------------------
We all know that 0⁰ is indefinite form, do we?
But lim(xฎ0) x^x = 1 , is it?

So why don't we define 0⁰ = 1 la?

-------------------------------------------------------
Also we all know that 0/0 is indefinite form
But lim(xฎ0) x/x = 1
So why don't we define 0/0 = 1 la?

---------------------------------------------------------

Anyone can tell me why?????

[Faith]

lim(x->0) f(x) หมายความว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 มากๆ ทั้งทางซ้ายและทางขวา (แต่ x ไม่เท่ากับ 0) แล้ว f(x) จะมีค่าเป็นเท่าใด
ดังนั้นก็เลยนิยาม 0^0 และ 0/0 ไม่ได้อยู่ดี เพราะ x ไม่เท่ากับ 0
ว่าแต่ว่ามีวิธีคำนวณอย่างไรว่า lim (x->0) x^x = 1 ช่วยบอกหน่อย

lim xยกกำลัง x เมื่อ x เข้าใกล้ 0
วิธีทำ
ให้ lim xยกกำลัง x = A
so ln lim xยกกำลัง x = ln A
lim lnxยกกำลัง x = lim xln x =lim (ln x) /(1/ x )
=lim (1/x) /-(1/xยกกำลัง2) =lim -x =0
ดังนั้น lnA = 0
A=1

[Counter Striker]

Err....I'm afraid perhaps you didn't get to my point yet.
Well...lemme show you an example...
Factorial (!)
n! = n(n-1)!
= n(n-1)(n-2)!
= n(n-1)(n-2)(n-3)!
........
= n(n-1)(n-2)(n-3)...(1)(0!)
Now how do you find the value of 0! ?
We got no idea to find it, do we?
So, to make it reasonable we gotta DEFINE 0! = 1
That means we can't find 0! but we DEFINE it as 1

Now let come to my point...
We have no idea how to find the value of 0⁰ ,don't we?
But we know that when x is very very small(in other word near zero),1*10^-10 say, then the value of x^x is very near 1. Try it with your calculator!!!
So my question is in spite of knowing that when x is close to zero x^x is close to 1, why don't we JUST DEFINE 0⁰ as 1 la'??
Similarly to x/x, inspite of knowing that when x is close to zero, x/x is close to 1, so why don't we JUST DEFINE 0/0 as 1 la'?
Notice that I use the word "DEFINE" , it doesn't mean 0⁰ = 1 but we DEFINE it to be 1.

I hope someone can understand my point.
I know it's not important but....I'm just curious

ใครว่า not important ละครับ
จริง ๆ มันคงมีเหตุผลลึก ๆ ละครับ
แต่ผลจะยกตัวอย่างขัดแย้งง่าย ๆ ให้อันหนึ่งนะครับ
0*5 = 0
5 = 0/0 = 1 (ตามนิยามของคุณ)
เห็นได้ชัด ๆ ว่าเกิดความขัดแย้งกับทุก ๆกรณีของ 0*a = 0 ครับ (a != 1)
ลองคิดตัวอย่างของ 0^0 ดูละกันครับ

[Zigma F - 1]

ผมว่าผมเห็นด้วยกับคนเมื่อกี้นะ บางอย่าก็ยอม ๆ เสียบ้างเถอะ เช่น ถ้าเกิดว่าเราไม่ยอม 0! = 1 แล้วนะ ผมว่าระบบคณิตศาสตร์หลายแขนงคงเกิดข้อเสียหายหมดแน่ ๆ ดังนั้นเราถึงต้องมีข้อตกลงยังไงล่ะ

[warut]

สำหรับเรื่อง 0/0 นี่เป็นเพราะ 0/0 ก็คือ 0*0^-1 แต่ 0 ไม่มีอินเวอร์สของการคูณ
ดังนั้น a/0 จึงหาค่าไม่ได้ทั้งนั้นไม่ว่า a จะเป็นจำนวนจริงใดก็ตาม
อันที่จริงเรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะเรื่องของจำนวนจริงเท่านั้นนะครับ
ใน nonzero ring ใดๆก็ตามเอกลักษณ์ของการบวกจะไม่มีอินเวอร์สของการคูณเสมอ

อย่าลืมนะครับว่าไม่มีความจำเป็นที่ f(a) กับ lim_xฎaf(x) จะต้องเป็นค่าเดียวกัน

สำหรับเรื่อง 0⁰ เนี่ยอันที่จริงก็มีความคิดที่จะนิยามให้เท่ากับ 1 อยู่เหมือนกัน
แต่ยังไม่เป็นสากลน่ะครับตอนนี้

พูดถึง lim_xฎ0x^x เนี่ยจริงๆแล้วมันหาค่าไม่ได้ครับ
เพราะถ้าเขียนแบบนี้เราจะถือว่า implicit domain คือเซ็ตของจำนวนจริง
x ทั้งหมดที่ x^x สามารถหาค่าได้ ที่ถูกคือต้องกำหนดลงไปด้วยว่า x > 0
หรือไม่ก็เขียนว่าเป็นลิมิตจากทางขวาไปซะเลยแบบนี้ครับ
lim_xฎ0+x^x = 1