พีชคณิตยากๆ ฝากช่วยคิดครับ

[Yo WMU]

กำหนดลำดับ
$x-1, x+1, (x-1)^2, x^2-1, (x+1)^2, (x-1)^3, (x^2-1)(x-1), (x^2-1)(x+1), (x+1)^3, ... $
ให้ p(x) เป็นผลรวมของพหุนามพจน์ที่ 1957 และพจน์ที่ 2011
จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ p(x) = 0

ฝากรบกวนแนะนำวิธีคิด และแสดงวิธีทำด้วยครับ ขอบคุณครับ

[polsk133]

น่าจะเป็น shortlist TMO ครั้งที่8 นะครับ ลองโหลดมาอ่านจากเวป สอวน ดูครับ

[Yo WMU]

งง ขั้นตอนในเฉลยอ่ะครับ ว่า Sn ตอนเริ่มต้น ไปเกี่ยวข้องอะไรกับโจทย์ด้วยครับ

[Aquila]

สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_n$ เขียนใหม่เป็น
$(x-1),(x+1),(x-1)^2,(x-1)(x+1),(x+1)^2,(x-1)^3,(x-1)^2(x+1),(x-1)(x+1)^2,(x+1)^3,(x-1)^4,...$

สังเกตว่าพจน์ที่โจทย์ให้สำหรับดีกรี $k$ จะเริ่มจาก
$(x-1)^k,(x-1)^{k-1}(x+1),(x-1)^{k-2}(x+1)^2,...,(x-1)(x+1)^{k-1},(x+1)^k$

สังเกตว่า มีดีกรี 1 อยู่ 2 ตัว มีดีกรี 2 อยู่ 3 ตัว มีดีกรี 3 อยู่ 4 ตัว เช่นนี้เรื่อยไป
เมื่อนำ $s_{4}=2+3+4=9$ หมายความว่า 9 พจน์ก่อนหน้ามีดีกรีตั้งแต่ $1,2,3$ รวมกัน เพราะฉะนั้นพจน์แรกสุดที่แสดงดีกรีเป็น 4 คือ $a_{10}=(x-1)^4$

ในทำนองเดียวกัน $s_{n}=2+3+...+n=\frac{(n-1)(n+2)}{2}$ หมายความว่า $\frac{(n-1)(n+2)}{2}$ พจน์ก่อนหน้ามีดีกรีตั้งแต่ $1,2,3,...,n-1$ รวมกัน เพราะฉะนั้นพจน์แรกสุดที่แสดงดีกรี $n$ คือพจน์ที่ $\frac{(n-1)(n+2)}{2}+1$

โจทย์ต้องการ พจน์ที่ 1957 และ 2011 ฉะนั้นต้องหาให้ได้ว่าพจน์ที่โจทย์ต้องการมีดีกรีเป็นเท่าไร และพจน์ที่เท่าไรแสดงดีกรีที่โจทย์ต้องการแรกสุด นับไล่ไป