ช่วยหาพื้นที่หน่อยนะครับ

[Art_ninja]

(CIWYMIC 2550) ชาวนาใช้ไม้ 4 ท่อนยาว 1 4 7 และ 8 หน่วย ตามลำดับมาล้อมรั้วเป็นรูป 4 เหลี่ยมที่มีพื้นที่ี่มากที่สุดเท่าใด
ช่วยหน่อยนะครับ

[คณิตศาสตร์]

เขียนรูปกำหนดความยาวมา เขียนความยาวแต่ละด้านแล้วลากเส้นมันจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ทำอย่างนี้รึเปล่าครับ

[nongtum]

ก่อนอื่นวางไม้ 8 หน่วยไปก่อนแล้วค่อยๆวางไม้ที่เหลือไปครับ แล้วคิดพื้นที่แยกไปทีละรูป(มีสามรูป)

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ผมคิดว่าจะวางยังไงก็ได้ เพราะความยาวโดนฟิกไว้ไม่ว่าจะวางมุมไหนถ้าต่อเป็นสี่เหลี่ยมใดก็จะได้ พ.ท.เท่ากัน ทีเหลือก็ใช้สูตร พ.ท.สี่เหลี่ยมใด
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} ; s=\frac{a+b+c+d}{2} $

ไม่แน่ใจว่าสูตรถูกรึเปล่าแต่น่าจะประมาณนี้..

สูตรนี้ไม่จริงครับ ดูง่ายๆก็สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสิครับ

[kartoon]

Fact

1) ในบรรดาสี่เหลี่ยมทั้งหลายที่มีด้านแต่ละด้านยาวเท่ากัน สี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้จะมีพื้นที่มากที่สุด

2) ส่วนของเส้นตรง 4 เส้นใดๆ ที่ไม่มี 2 เส้นใดๆยาวเท่ากัน และความยาวของส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นมีค่าน้อยกว่าผลรวมของความยาวของส่วนของเส้นตรงอีก 3 เส้นที่เหลือ จะสามารถสร้างสี่เหลี่ยมนี้ให้มีวงกลมล้อมรอบได้เสมอ

(ส่วนสำคัญคือเงื่อนไขแรกคือจะต้องไม่มีสองเส้นใดๆยาวเท่ากัน ส่วนเงื่อนไขอันหลังเป็นเงื่อนไขทั่วไปที่ทำให้เราไม่สามารถสร้างสี่เหลี่ยมใดๆได้)

3) สี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ที่ได้จากข้อ 2 จะยังสามารถสร้างให้มีวงกลมล้อมรอบได้เสมอ ไม่ว่าจะเรียงสับเปลี่ยนด้านเป็นอย่างไรก็ตาม

4) สี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ที่ได้จากข้อ 2 จะมีพื้นที่เท่ากันเสมอ ไม่ว่าจะเรียงสับเปลี่ยนด้านเป็นอย่างไรก็ตาม

ใครสนใจว่า ทบ. เหล่านี้เป็นมาอย่างไร ไปหาอ่านใน Geometry Revisited ของ Coxeter

[nongtum]

ข้อนี้ แนะให้ดูที่หน้า 57 ในหนังสือที่คุณ kartoon ระบุครับ (อ้างตามไฟล์ที่ผมแจกในกระทู้แจก e-book math 1)

[t.B.]

2) ส่วนของเส้นตรง 4 เส้นใดๆ ที่ไม่มี 2 เส้นใดๆยาวเท่ากัน และความยาวของส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นมีค่าน้อยกว่าผลรวมของความยาวของส่วนของเส้นตรงอีก 3 เส้นที่เหลือ จะสามารถสร้างสี่เหลี่ยมนี้ให้มีวงกลมล้อมรอบได้เสมอ

ช่วยดูสี่เหลี่ยมของผมหน่อยทำไมมันไม่เท่ากัน จากที่คุณ kartoon บอกมามันน่าจะวาดวงกลมล้อมรอบได้ จากภาพใช้ ทบ.วงกลมข้อหนึ่งว่า ผลบวกมุมตรงสี่เหลี่ยมแนบวงกลมจะได้รวมกันได้ $180^{\circ} $
$\therefore \angle B+\angle D=180^{\circ} $
$60+\angle D=180^{\circ} $
$\angle D=120^{\circ} $
แต่ถ้าพิจารณา $\triangle CAD$ แล้วใช้Cosine theorem หามุมD
$cosD=\frac{7^2+1^2-(4\sqrt{3} )^2}{2(7)(1)} $
$cosD=\frac{49+1-48}{14} $
$cosD=\frac{1}{7} $
$D=cos^-1(\frac{1}{7} ) $
$D\approx 81^{\circ} $

จะเห็นว่า $\angle D\not= \angle D $ เพราะอะไรช่วยบอกผมที

[nongtum]

คุณ t.B. รู้ได้อย่างไรครับว่ามุม B มีขนาด 60 องศา

[t.B.]

ผมตั้งเองอะครับให้ต่อกันโดยให้ต่อกันเป็น60องศาเป็นมุมเริ่มต้น หรือว่ามุมนี้ไม่สามารถสร้างเป็นสี่เหลี่ยมล้อมรอบวงกลมได้?

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kartoon

Fact



2) ส่วนของเส้นตรง 4 เส้นใดๆ ที่ไม่มี 2 เส้นใดๆยาวเท่ากัน และความยาวของส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นมีค่าน้อยกว่าผลรวมของความยาวของส่วนของเส้นตรงอีก 3 เส้นที่เหลือ จะสามารถสร้างสี่เหลี่ยมนี้ให้มีวงกลมล้อมรอบได้เสมอ

(ส่วนสำคัญคือเงื่อนไขแรกคือจะต้องไม่มีสองเส้นใดๆยาวเท่ากัน ส่วนเงื่อนไขอันหลังเป็นเงื่อนไขทั่วไปที่ทำให้เราไม่สามารถสร้างสี่เหลี่ยมใดๆได้)



ใครสนใจว่า ทบ. เหล่านี้เป็นมาอย่างไร ไปหาอ่านใน Geometry Revisited ของ Coxeter

ขอถามหน่อยครับ ถ้าความยาวของเส้นตรงเป็นดังนี้คือ 1,2,3และ 4 จะสามารถสร้างสี่เหลี่ยมโดยมีวงกลมล้อมรอบได้อย่างไรครับ
ข้อความที่แก้ไข (เข้าใจแล้วครับ บวกเลขผิด)
ตัวอย่างนี้เป็นไปตามเงื่อนไขโจทย์หรือเปล่า
สำหรับ link ของคุณ nongtum ผม download แล้วเปิดไม่ได้ครับ ไม่รู้ต้องทำอย่างไร

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

Attachment 200
ช่วยดูสี่เหลี่ยมของผมหน่อยทำไมมันไม่เท่ากัน จากที่คุณ kartoon บอกมามันน่าจะวาดวงกลมล้อมรอบได้ จากภาพใช้ ทบ.วงกลมข้อหนึ่งว่า ผลบวกมุมตรงสี่เหลี่ยมแนบวงกลมจะได้รวมกันได้ $180^{\circ} $
$\therefore \angle B+\angle D=180^{\circ} $
$60+\angle D=180^{\circ} $
$\angle D=120^{\circ} $
แต่ถ้าพิจารณา $\triangle CAD$ แล้วใช้Cosine theorem หามุมD
$cosD=\frac{7^2+1^2-(4\sqrt{3} )^2}{2(7)(1)} $
$cosD=\frac{49+1-48}{14} $
$cosD=\frac{1}{7} $
$D=cos^-1(\frac{1}{7} ) $
$D\approx 81^{\circ} $

จะเห็นว่า $\angle D\not= \angle D $ เพราะอะไรช่วยบอกผมที

ถ้า factที่ว่า "1) ในบรรดาสี่เหลี่ยมทั้งหลายที่มีส้นรอบรูปยาวเท่ากัน สี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้จะมีพื้นที่มากที่สุด "และใช้รูปตามคุณ t.B. เพื่อไม่ให้มีปัญหา ต้องให้มุม $ B =\Theta และมุม D =180-\Theta $ แล้วใช้กฎของ โคไซน์จะได้ว่า
$8^2+4^2-2*4*8cos\Theta =AC^2=1+7^2-2*1*7cos(180-\Theta )$
เพราะฉะนั้น$cos\Theta =\frac{30}{78} $

[nongtum]

คิดว่าถ้าจะสร้างจริงๆ คงต้องคำนวณหามุมอย่างน้อยหนึ่งมุมโดยกฎโคไซน์ก่อนมั้งครับ (ถ้ามุมมันสร้างแบบ exact ไม่ได้ ก็ต้องพลิกแพลงกันหน่อยล่ะนะ)
หลังจากสร้างสี่เหลี่ยมด้วยมุมนี้ได้ ที่เหลือก็แค่ลากเส้นแ่บ่งครั้งตั้งฉาก'คอร์ด'เพื่อหาจุดศูนย์กลาง แล้ววาดวงกลมมั้งครับ

ส่วนที่ถามเรื่องการเปิดไฟล์ ผมขอตอบในกระทู้แจกไฟล์นะครับ

[หยินหยาง]

ขอตอบต่อหลังจากได้ $cos\Theta =\frac{30}{78}$ ก็จะหา AC ได้ $\approx 7.442$
ต่อจากนั้นก็หาพื้นที่สามเหลี่ยมABC+พื้นที่สามเหลี่ยมACD โดยใช้สูตร $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ; s=\frac{a+b+c}{2}$
จะได้พื้นที่ =18 หรืออาจใช้สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้คือ
$ [ABCD]=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} ; s=\frac{a+b+c+d}{2}$ ก็จะได้คำตอบเหมือนกันคือ 18

[t.B.]

แสดงว่าที่คุณkartoonบอกตรงข้อที่2มันไม่จริงหรอครับ เป็นได้แค่บางกรณี?

[kartoon]

สร้างได้ทุกกรณี ถ้าส่วนของเส้นตรงทั้ง 4 เส้นสามารถสร้างเป็นสี่เหลี่ยมได้...
เป็นแนวการพิสูจน์ที่เยี่ยมมาก แทนที่จะพิสูจน์ที่สี่เหลี่ยม กลับไปพิสูจน์ที่สามเหลี่ยมแทน