ข้อสอบสอวนค่าย 2 ศูนย์ศิลปากร 2553

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

เพิ่มเติม
ข้อสอบ สมการเชิงฟังก์ชัน (คะแนนเต็ม 15 คะแนน)

1.g : R$\rightarrow$R ; g(x+g(y)) = x+y ทุกๆ x และ y จงแสดงว่า g เป็นฟังก์ชัน 1-1และเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (7 คะแนน)

$g(x+g(y))=x+y$ แทน x ด้วย x-g(y) $\Rightarrow g(x)=x-g(y)+y$
แทน y เป็น 0 $\Rightarrow g(x)=x-g(0) \Rightarrow g(x)=x+c$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่
แสดงได้ไม่ยากว่า c=0 โดยแทนค่าในโจทย์ ก็ได้ว่า $g(x)=x$ เพียงคำตอบเดียวซึ่งเป็นทั้ง 1-1 func & onto func.

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

เพิ่มเติม

2.จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีฟังก์ชันผกผันหรือไม่ จงพิสูจน์ (8 คะแนน)

2.1 ให้$\alpha (x)$ = $x^2$ ; $x\geqslant 0$

= $-x^2$ ; $ x<0$

2.2 ให้$ \alpha (x)$ = $x$ ; x เป็นจน.คู่

= $2x$ ; x เป็นจน.คี่

การแสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันหรือไม่ก็เท่ากับพิสูจน์ว่าเป็น 1-1 func.
2.1) สังเกตว่า ถ้า $x\geqslant 0$ แล้ว $\alpha (x)=x^2\geqslant 0$ และถ้า $x<0$ แล้ว $\alpha (x)=-x^2<0$
พิจารณา $k\geqslant 0$ จะได้ว่ามี l เพียงตัวเดียวที่ $k=l^2=\alpha (l)=\alpha (\sqrt{k} )$
ในทำนองเดียวกันกับ $k<0$ จะได้ว่ามี l เพียงตัวเดียวที่ $k=-l^2=\alpha (l)=\alpha (\sqrt{k} )$
นั่นคือ $\alpha (x)$ เป็น 1-1 func. ก็คือเป็นฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันผกผัน

2.2) เห็นอย่างงี้ก็ยกตัวอย่างง่ายๆค้านได้เลย เช่น $ \alpha (2)=2=\alpha (1)$ นั่นคือ $\alpha (x)$ ไม่เป็น 1-1 func. คือไม่มีฟังก์ชันผกผัน
หรือจะเอาแบบเต็มๆเลยก็คือ ให้ k เป็นจำนวนเต็มคี่ แสดงว่า 2k เป็นจำนวนคู่
$\therefore \alpha (2k)=2k$ และ $\alpha (k)=2k$ เห็นได้ชัดว่าไม่เป็น 1-1 func. (และเพราะ k เป็นคี่ เลยเป็น 0 ไม่ได้ $2k\not= k$)

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

เพิ่มเติม

ข้อสอบ ทฤษฎีจำนวน (คะแนนเต็ม 30 คะแนน)

1.จงแสดงว่า ถ้า $gcd(a,b)$ = $1$ แล้ว $gcd(a+b,a^2+b^2)$ = $1$ หรือ $2$ (6 คะแนน)

2.นาย A ซื้อปลามา3ชนิด คือ ปลาอินทรี ปลากระเบน ปลาการ์ตูน รวมกันทั้งหมดมี $100$ ตัว
แต่ละตัวราคาตัวละ $120,50,25$ บาท ตามลำดับ ซื้อมาทั้งหมดเป็นจน.เงิน $4,000$ บาท
ถามว่า นาย A ซื้อปลามาอย่างละกี่ตัว (8 คะแนน)

3.ถ้า p เป็นจน.เฉพาะ โดยที่ p>$5$ แล้ว จงแสดงว่า $p^2+2$ เป็นจน.ประกอบ (8 คะแนน)

4. 4.1) จงแสดงว่า ถ้า $gcd(a,b) = 1 $ แล้ว $ gcd(a^2,b^2) = 1 $ (2 คะแนน)
4.2 ) จงแสดงว่า ถ้า $gcd(a,b) = p$ โดยที่ p เป็นจน.เฉพาะ แล้ว $gcd(a^2,b^2) = p^2$ (6 คะแนน)

ข้อสอบ สมการเชิงฟังก์ชัน (คะแนนเต็ม 15 คะแนน)

1.g : R$\rightarrow$R ; g(x+g(y)) = x+y ทุกๆ x และ y จงแสดงว่า g เป็นฟังก์ชัน 1-1และเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (7 คะแนน)

2.จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีฟังก์ชันผกผันหรือไม่ จงพิสูจน์ (8 คะแนน)

2.1 ให้$\alpha (x)$ = $x^2$ ; $x\geqslant 0$

= $-x^2$ ; $ x<0$

2.2 ให้$\alpha (x)$ = $x$ ; x เป็นจน.คู่

= $2x$ ; x เป็นจน.คี่

สมการเชิงฟังก์ชันข้อ 2.2 รู้สึกจะเป็น

$$\alpha (x)= x+1 ; x เป็นจน.คู่$$

เอ๊ะ หรือว่าผมจำผิด

[thainarak]

ข้อ4.2 (a,b)=p เเล้ว (a*a,b*b)=p*p จะได้ยังงี้ป่าวคับ (a(a,b),b(a,b))=p*p = (a*p,b*p)=p(a,b)=p*p
ข้อ4.1ก้อทำเเบบเดียวกัน (ทำยังงี้มั้งนะคับ)

1.g : R→ R ; g(x+g(y)) = x+y ทุกๆ x และ y จงแสดงว่า g เป็นฟังก์ชัน 1-1และเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (7 คะแนน)

ถ้าเราเเทนx= y-g(y) มันจะได้ g(y)=y เเล้วมันก้อน่าจะ1-1