ข้อสอบโอลิมปิกญี่ปุ่น(พีชคณิต)

[N-a-m Oob]

ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า bl$a^3$ ,cl$b^3$ และ al$c^3$ จงพิสูจน์ว่า abcl$(a+b+c)^{13}$

ช่วยหน่อยนะค่ะ คิดนานแล้วคิดไม่ออกเลย
ขอบคุณค่ะ ^^

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ N-a-m Oob

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า $b\mid a^3,c\mid b^3$ และ $a\mid c^3$ จงพิสูจน์ว่า $abc\mid (a+b+c)^{13}$

Hint: ให้

$a=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_n^{x_n}$

$b=p_1^{y_1}p_2^{y_2}\cdots p_n^{y_n}$

$c=p_1^{z_1}p_2^{z_2}\cdots p_n^{z_n}$

เมื่อ $p_1,...,p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างกัน และ $x_i,y_i,z_i\geq 0$

ใช้เงื่อนไขโจทย์พิสูจน์ให้ได้ว่า

$x_i+y_i+z_i\leq 13\min\{x_i,y_i,z_i\}$ ทุกค่า $i$

[Thgx0312555]

อีกวิธีครับ

solution

$(a+b+c)^{13}= \sum ka^xb^yc^z$ เมื่อ $k$ เป็นสัมประสิทธิ์, $x,y,z \geqslant 0$ และ $x+y+z=13$

(1) พิจารณา $\sum ka^xb^yc^z$ ถ้ามี $x,y > 2$ หรือ $y,z > 2$ หรือ $z,x > 2$
ถ้า $x,y > 2$ จะได้ $c|a^3 $นั่นคือ$ abc|\sum_{x,y>2} ka^xb^yc^z$

ทำแบบเดียวกันสำหรับอีกสองกรณี ($y,z > 2 \vee z,x > 2$)

(2) พิจารณา $\sum ka^xb^yc^z$ ถ้ามี x,y $\leqslant$ 2 หรือ y,z $\leqslant$ 2 หรือ z,x $\leqslant$ 2

ถ้า $x,y \leqslant 2$ จะได้ $z \geqslant 9$ นั่นคิอ $a^3|c^9$ และ $b|a^3$
$\therefore a|c^z, b|c^z, c|c^z$ นั่นคือ $abc|\sum_{x,y\leqslant 2} ka^xb^yc^z$

ทำแบบเดียวกันสำหรับอีกสองกรณี ($y,z \leqslant 2 \vee z,x \leqslant 2$)

นำทุกกรณีบวกกันจะได้ $abc|\sum ka^xb^yc^z$
$\therefore abc|(a+b+c)^{13}$

[กิตติ]

ขอคิดใหม่อีกที น่าจะเข้าใจโจทย์ผิด