สดๆ ร้อนๆ ข้อสอบคัดตัวแทนศูนย์ มอ.

[Beatmania]

ปีนี้ผมไม่ค่อยแน่ใจเท่าไหร่ครับ อาจจะสะเพร่าโง่ๆ เหมือนค่ายที่แล้วก็เป็นได้ - -

Function + Algebra

1.ให้ f(a,b) = ${a \brack b}$

และ g(x) = (2x,$\sqrt{x+1} $)

1.1 f เป็นฟังก์ชั่น

1.2 f 1-1

1.3 f onto

1.4 Domain ของ f$\circ $g

1.5 f$\circ $g (2) = ?

2.จงหาคำตอบของสมการ $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1} } +\sqrt{x-1} =4$

Inequality

1. abc = 1 a b c เป็นจำนวนจริงบวก

จงแสดงว่า

$a^{b+c}b^{a+c}c^{a+b} \leqslant 1$

2. n เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า

$\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n} } +\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n} } \leqslant 2\sqrt[n]{n} $

Trigonometry

1. f(x) = $\frac{8sin2x+4sin4xcos2x+8cos4x}{3-cos4x+12sinxcosx} $

จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ f(x)

2. arctan a - arctan b - arctan c = $\frac{\pi }{2} $

จงหาค่าของ ab-ac-bc+3

3. ถ้า $x+\frac{1}{x} = 2cos\frac{\pi }{32} $ จงหาค่าของ $x^4+\frac{1}{x^4} $

โดยไม่ให้ติดค่าของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

Geometry

1. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม A และมุม B พบด้านตรงข้ามที่จุด D E ตามลำดับ

ถ้า DE แบ่งครึ่ง ADC แล้วจงหาค่าของมุม A

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มุมมุม A เป็นมุมยอด ลากเส้นตั้งฉาก AD BE CF พบกันที่จุุด H

จงแสดงว่า $AH\bullet BC=2AB\bullet FH$

Combinatorics

1. จงหาฟังก์ชั่นทั่วถึงจาก {1,2,...,2012} ไปยัง {1,2,...,8}

โดยที่ {f(1),f(2),f(3),f(4)} ก็ต่อเมื่อ n={1,2,3,4}

f(5)=5

f(6) เป็นเลขคู่

2. ใช้หลักการรังนก (ห้ามใช้ NT)

พิสูจน์ว่า $p,p^2,...$ มีอย่างน้อยตัวหนึ่งที่หลักหน่วยเป็น 00...1 โดยมี 0 n-1 ตัว

Functional Equation

1. จงหา f:$\mathbf{N} ->\mathbf{N} $ f(n+1)=f(n)+2n f(1)=2

2. จงหา f:$\mathbf{R^+} ->\mathbf{R^+} $ $f(\frac{x}{y} )+f(\frac{y}{x} )=\frac{1}{\sqrt{y} f(x)} +\sqrt{y} f(x)$

3. จงหา f:$\mathbf{R} ->\mathbf{R} $ f(x+yz)=f(x)+f(y)f(z)

Number Theory

1. $2^{2012} \equiv ? \pmod{2012} $

2. ทุกๆจำนวนเฉพาะ p ที่ไม่ใช่ 7 จะมี n ซึ่ง

$28^n+14^n+7^n+4^n+2^n-1 \equiv 0 \pmod{p} $

3. p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ ถ้า

$\frac{1}{1^2} -\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +...-\frac{1}{(p-1)^2} =\frac{a}{b} $

แล้วจงแสดงว่า p|a

IMO (In my opinion)

ข้อสอบปีนี้เทียบกับปีที่แล้วเนี่ยก็ยากขึ้น และบางวิชาก็ยากขึ้นมาด้วย

ข้อสอบ NT ค่อนข้างยากมากเลยทีเดียวครับสำหรับคนเพิ่งมาใหม่

ส่วน C ก็ยากมากครับโดยเฉพาะข้อ 1

วิชาอื่นก็พอไถไปได้บ้างครับ

หวังว่าคนที่ผมคิดไว้ในใจทั้ง 4 คนคงจะติดนะครับ ^^

โชคดีครับทุกคน

-เจ

ปล. อ่อนหัดเรื่อง Latex มาเลยครับ = =

[Beatmania]

ข้อ 3 NT หลายคนว่าอาจจะใช้สิ่งที่เรียกว่า Inverse modulo อ่ะครับ

ผมเพิ่งคิดออกเมื่อตอนกินข้าวเที่ยงนี่เองว่ามันคิดแบบนี้ได้ด้วย o_O

$\frac{1}{1^2} -\frac{1}{2^2} +...+\frac{1}{(p-2)^2} -\frac{1}{(p-1)^2} =\frac{a}{b} $

$[\frac{1}{1^2} -\frac{1}{(p-1)^2} ]+[-\frac{1}{2^2} +\frac{1}{(p-2)^2} ]+...+[(-1)^{\frac{p+1}{2} }\frac{1}{(\frac{p-1}{2} )^2} +(-1)^{\frac{p-1}{2} }\frac{1}{(\frac{p+1}{2} )^2} ]=\frac{a}{b} $

$[(\frac{1}{1} +\frac{1}{p-1} )(\frac{1}{1} -\frac{1}{p-1} )]+[(\frac{1}{p-2} +\frac{1}{2})(-\frac{1}{2} +\frac{1}{p-2} )]+...+[(\frac{1}{\frac{p+1}{2} } +\frac{1}{\frac{p-1}{2} } )((-1)^{\frac{p+1}{2} }\frac{1}{\frac{p-1}{2} } +(-1)^{\frac{p-1}{2} }\frac{1}{\frac{p+1}{2} } )]=\frac{a}{b} $

$[(\frac{p}{p-1} )(\frac{1}{1} -\frac{1}{p-1} )]+[(\frac{p}{2(p-2)} )(-\frac{1}{2} +\frac{1}{p-2} )]+...+[(\frac{p}{\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2} } )((-1)^{\frac{p+1}{2} }\frac{1}{\frac{p-1}{2} } +(-1)^{\frac{p-1}{2} }\frac{1}{\frac{p+1}{2} } )]=\frac{a}{b} $

$p[[(\frac{1}{p-1} )(\frac{1}{1} -\frac{1}{p-1} )]+[(\frac{1}{2(p-2)} )(-\frac{1}{2} +\frac{1}{p-2} )]+...+[(\frac{1}{\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2} } )((-1)^{\frac{p+1}{2} }\frac{1}{\frac{p-1}{2} } +(-1)^{\frac{p-1}{2} }\frac{1}{\frac{p+1}{2} } )]]=\frac{a}{b} $

$p[[(\frac{1}{p-1} )(\frac{1}{1} -\frac{1}{p-1} )]+[(\frac{1}{2(p-2)} )(-\frac{1}{2} +\frac{1}{p-2} )]+...+[(\frac{1}{\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2} } )((-1)^{\frac{p+1}{2} }\frac{1}{\frac{p-1}{2} } +(-1)^{\frac{p-1}{2} }\frac{1}{\frac{p+1}{2} } )]]=\frac{a}{b} $

สังเกตว่าถ้า $[[(\frac{1}{p-1} )(\frac{1}{1} -\frac{1}{p-1} )]+[(\frac{1}{2(p-2)} )(-\frac{1}{2} +\frac{1}{p-2} )]+...+[(\frac{1}{\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2} } )((-1)^{\frac{p+1}{2} }\frac{1}{\frac{p-1}{2} } +(-1)^{\frac{p-1}{2} }\frac{1}{\frac{p+1}{2} } )]]=\frac{c}{d} $ แล้ว $p \nmid d$ (ตัวส่วนไ่ม่มี p เป็นตัวประกอบแน่นอน)

ดังนั้น$p[[(\frac{1}{p-1} )(\frac{1}{1} -\frac{1}{p-1} )]+[(\frac{1}{2(p-2)} )(-\frac{1}{2} +\frac{1}{p-2} )]+...+[(\frac{1}{\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2} } )((-1)^{\frac{p+1}{2} }\frac{1}{\frac{p-1}{2} } +(-1)^{\frac{p-1}{2} }\frac{1}{\frac{p+1}{2} } )]]=\frac{pc}{d} $

$\frac{pc}{d} =\frac{a}{b} $

pcb = ad

แต่ว่า $p\nmid d$ ดังนั้น $p\mid a$

ปล. Latex กระชากเลือดมากเลยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มุมมุม A เป็นมุมยอด ลากเส้นตั้งฉาก AD BE CF พบกันที่จุุด H

จงแสดงว่า $AH\bullet BD=2AB\bullet FH$

ผมได้

$AH\bullet BD = AB\bullet FH$




สามเหลี่ยม AFH คล้ายสามเหลี่ยม ABD (มมม)

$\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{FH}{BD}$

$AH\bullet BD = AB\bullet FH$

ไม่สามารถแสดงว่า $AH\bullet BD=2AB\bullet FH$


แต่ถ้าแก้โจทย์เป็น AH*BC = 2AB*FH อย่างที่คุณSingularityบอกข้างล่าง

$AH\bullet BD = AB\bullet FH$

$AH\bullet \dfrac{BC}{2} = AB\bullet FH$

จะได้ $ \ AH\bullet BC = 2 AB\bullet FH$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

2.จงหาคำตอบของสมการ $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1} } +\sqrt{x-1} =4$

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1} } +\sqrt{x-1} =4$

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1} } =4 - \sqrt{x-1}$

$x+3-4\sqrt{x-1} = 16 -8\sqrt{x-1} + x-1$

$\sqrt{x-1} = 3 $

$x = 10$

[win1234]

ข้อ 2 เป็นโจทย์ที่ดัดแปลงมาจาก IMO ครับ
ลองทำอันนี้ดูก่อนนะครับมันไอเดียเดียวกันครั
6^n+3^n+2^n-1 แทนลองสังเกตดูดีๆว่า 6=3+2+1

[Singularity]

อสมการ 1. AM-GM กับ Weight AM-GM
2. Power mean
เรขา 1. พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน กับเส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอกสองมุมที่เหลือ ของสามเหลี่ยม ตัดกันที่จุดๆหนึ่ง ทำให้ได้ว่า AC แบ่งครึงมุมภายนอก ของสามเหลี่ยม ABD ซึ่งทำให้ได้ว่า มุม BAC เท่ากับ 120 องศา
2. แก้โจทย์เป็น AH*BC = 2AB*FH
คอมบิ 1. เพิ่มเข้าตัดออก (ระวังเงื่อนไขของ f(5) กับ f(6) ด้วย)
FE. 1. induction
2. หา f(1) แล้วแทน y=x
3. ได้ว่า f(x+y) = f(x)+f(y) และ f(x^2)= f(x)^2 แล้วพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันไม่ลด ซึ่งทำให้ใช้สมการโคชีได้
NT 2. IMO 2005 ข้อ 4
3. Inverse Modulo

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Singularity

3. ได้ว่า f(x+y) = f(x)+f(y) และ f(x^2)= f(x)^2 แล้วพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันไม่ลด ซึ่งทำให้ใช้สมการโคชีได้

มันมีทบ.ที่บอกว่า ถ้าทุก $x\geqslant 0$ ให้ค่า $f(x)\geqslant 0$ จะได้ว่าสามารถใช้โคชี่ได้นี่ครับ ^^