โจทย์ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลผสมกับลอการิทึมครับ

Di[s]-Stepz · #1 16 มิถุนายน 2012, 20:36

$ จงหาค่า a ที่ทำให้สมการ a^x = log_a x $ $ มีคำตอบ $

nooonuii · #2 16 มิถุนายน 2012, 20:57

วาดกราฟของทั้งสองฟังก์ชัน โดยแบ่งเป็นกรณี $0<a<1$ และ $a>1$

Di[s]-Stepz · #3 16 มิถุนายน 2012, 21:15

ผมลองวาดแล้วมันไม่ตัดกัน มันเป็น อินเวอร์สกันอะครับ

nooonuii · #4 17 มิถุนายน 2012, 09:24

คำตอบซับซ้อนกว่าที่คิดครับ ผมเคยคิดไว้แล้วแต่จำไม่ได้ว่าอยู่กระทู้ไหน

แต่ที่เห็นได้ชัดคือ $0<a<1$ เป็นไปได้นะครับลองวาดดูใหม่

ส่วนที่ยากคือกรณี $a>1$ ก็มีบางส่วนที่เป็นไปได้

Thgx0312555 · #5 17 มิถุนายน 2012, 11:26

$0 < a \le e^{\frac{1}{e}}, a \not= 1$

Di[s]-Stepz · #6 17 มิถุนายน 2012, 19:44

ขอบคุณมากครับ ผมเจอหนังสือที่มีพิสูจน์แล้วครับ

lek2554 · #7 17 มิถุนายน 2012, 22:21

#6 ชื่อหนังสืออะไรครับ หาจากไหนครับ
.................................................................................................................

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

คำตอบซับซ้อนกว่าที่คิดครับ ผมเคยคิดไว้แล้วแต่จำไม่ได้ว่าอยู่กระทู้ไหน

แต่ที่เห็นได้ชัดคือ $0<a<1$ เป็นไปได้นะครับลองวาดดูใหม่

ส่วนที่ยากคือกรณี $a>1$ ก็มีบางส่วนที่เป็นไปได้

ส่วนที่ยากคือกรณี $a>1$ ก็มีบางส่วนที่เป็นไปได้

ขอบคุณท่าน nooonuii มากครับ ความรู้ใหม่เลยครับ

ผมลองใช้โปรแกรมเขียนกราฟ กรณี $a>1$ จะได้ว่าค่า $a$ ต้องมีค่าประมาณอยู่ในช่วง $1<a<1.444...49$ ครับ

แต่พิสูจน์ไม่ได้ ช่วยแนะนำหน่อยครับ

.............................................................................................................

ส่วนคำตอบใน #3 ไม่น่าจะถูกครับ น่าจะขึ้นอยู่กับค่า $a$

ถ้าให้ $a=\sqrt[n]{n}$ จะมี $x=n$ เป็นคำตอบหนึ่งแน่นอนครับ

$(\sqrt[n]{n})^n=log_{\sqrt[n]{n}}n$

Thgx0312555 · #8 17 มิถุนายน 2012, 22:36

กราฟสองกราฟที่เป็น inverse กันจะตัดกันก็ต่อเมื่อมันตัดแกนสมมาตร (พิสูจน์ได้) ครับ
ก็เหลือ
$a^x = x$
$a = x^{\frac{1}{x}}$

ดังนั้นคำตอบคือ range ของ $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$

Di[s]-Stepz · #9 17 มิถุนายน 2012, 23:01

หนังสือ new math test ครับ

cardinopolynomial · #10 18 มิถุนายน 2012, 05:51

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Di[s]-Stepz

หนังสือ new math test ครับ

หนังสือเล่มนั้น ไม่มีขายเเล้วใช่มั้ยครับ

Di[s]-Stepz · #11 18 มิถุนายน 2012, 06:40

ครับ ผมซื้อจาก จตุจัก นานแล้วครับ

lek2554 · #12 18 มิถุนายน 2012, 16:18

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ผมลองใช้โปรแกรมเขียนกราฟ กรณี $a>1$ จะได้ว่าค่า $a$ ต้องมีค่าประมาณอยู่ในช่วง $1<a<1.444...49$ ครับ

พิสูจน์ตามวิธีของคุณ Thgx0312555

$0 < a \le e^{\frac{1}{e}}, a \not= 1$

$e^{\frac{1}{e}}\approx 1.4446678610097661336583391085964302230585954532422531...$

http://www.wolframalpha.com/input/?i...%5E%281%2Fx%29

Di[s]-Stepz · #13 18 มิถุนายน 2012, 19:08

ขอบคุณทุกคนครับ ที่ช่วยแนะนำ

Imperial_X · #14 19 มิถุนายน 2012, 21:20

แล้วถ้าไม่วาดกราฟ จะหาได้อย่างไรอะครับ