ข้อสอบสอวนค่าย 2 ศูนย์ศิลปากร 2553

[iMsOJ2i2y]

พึ่งกลับมาจากเข้าค่ายครับ รีบมาอัพข้อสอบก่อนเลย

ช่วยๆกันทำหน่อยนะครับ เรขานี่ยากมาก คิดกันไม่ออกเลยทีเดียว

ดูท่าผมจะไม่ติดค่าย 2 แล้วล่ะ ลาก่อน สอวน

บ่นมามากแล้ว มาเริ่มข้อสอบกันเลย

พีชคณิต

1. จงแสดงว่า $|1 + iz| = |1 - iz|$ ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนจริง

2. กำหนด $x^2 = xy - 1$ และ $y^2 = 1 - y$ จงหาค่าของ x ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

3. จงหาจำนวนเต็ม x,y,z ที่ทำให้ $x+y+z = x^3+y^3+z^3 = 3$

4. ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $z+\bar z = 2$ และ $|z| = \sqrt{5}$
ถ้า $z$ และ $z^2$ เป็นรากของสมการพหุนามกำลังสี่ $p(x)=0$ จงหา $p(x)$

5. ให้ $x_i$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ
$$x_6 = 189$$ $$x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1}+x_n+1) $$
เมื่อ $n = 1,2,3,4$ จงหาค่าของ $x_7$

6. ให้ $p(x,y,z) = x^5+y^5+z^5+c(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)$
จงหาค่า c ที่ทำให้ $x+y+z$ เป็นตัวประกอบของ $p(x,y,z)$

หมดแล้วนะครับสำหรับข้อสอบพีชคณิต เป็นข้อสอบแสดงวิธีทำทั้งหมดนะครับ

[iMsOJ2i2y]

คอมบินาทอริก

1. มีลูกปิงปองอยู่ 10 ลูกที่มีหมายเลข 1 ถึง 10 อยู่ลูกละหนึ่งหมายเลข (ไม่มีลูกใดมีหมายเลขซ้ำกัน) ถ้าหยิบลูกปิงปองออกมา 6 ครั้งโดยที่หยิบแล้วใส่คืน ถ้าทราบว่าครั้งแรกหยิบได้หมายเลข 2 และครั้งสุดท้ายได้หมายเลข 7 แล้วจำนวนวิธีที่หมายเลขที่หยิบได้ในแต่ละครั้งมีค่าไม่น้อยกว่าครั้งก่อนหน้านั้นเท่ากับเท่าใด

2. มีโต๊ะอยู่ตัวหนึ่ง และมีเก้าอี้ 10 ตัวดังรูป มีคนอยู่ 7 คนซึ่งรวมนายนกและนายไก่ จงหาจำนวนวิธีการนั่งของคนทั้ง 7 คนรอบโต๊ะนี้โดยที่นายนกไม่ต้องการนั่งติดหรือนั่งตรงข้ามกับนายไก่


Thanks: ฝากรูป

3. จงหาจำนวนชุดคำตอบ $(x,y,z)$ ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบที่สอดคล้องกับสมการ
$$3 \leqslant x+y+x \leqslant 12$$

4. สำหรับจำนวนนับ n ให้ $S = {1,2,...,n+1}$ และให้ $T= \{(x,y,z) \in S^3 | x<z และ y<z \} $ จงใช้การนับสองทางในการพิสูจน์ว่า
$$\sum_{k = 1}^{n}k^2 = |T| = \pmatrix{n+1 \\ 2} + 2\pmatrix{n+1 \\3} $$

[JKung]

อยากจะบอกว่าวันนี้ฟังก์ชันยาก T T

[iMsOJ2i2y]

เรขาคณิต

[JKung]

ข้อ 4 พีชคณิต

จาก lzl = $\sqrt{5}$ จะได้ว่า $a^2$+$b^2$ = 5

และ z+zˉ = 2
ให้ z = a+bi ดังนั้น zˉ= a-bi
จะได้ z+zˉ = 2 = 2a ดังนั้น a = 1 b=2,-2

จะได้ z = 1+2i,1-2i

จาก z,$z^2$ เป็นรากของพหุนาม จะได้ว่า zˉ,$zˉ^2$ เป็นรากด้วย

ดังนั้นรากของสมการจะมี 1+2i,1-2i,-3+4i,-3-4i

จากที่ p(x)=0 จะได้(x-1-2i)(x-1+2i)(x+3-4i)(x+3+4i) =0

($x^2$-2x+5)($x^2$+6x+25) = 0

$x^4+4x^3+18x^2-20x+125$= 0 = p(x)

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

อยากจะบอกว่าวันนี้ฟังก์ชันยาก T T

ยากมากมาย 555 แต่เจผ่านอยู่แล้วเห็นทำได้ตั้งหลายวิชา

ตอนนี้อัพหมดแล้วนะครับ 3 วิชาจาก 6 วิชา เขาแจกคืนมาแค่นี้

ตอนนี้อยากได้ Solution เรขามาก

ปล . ผมจะปล่อยคอมบิทิ้งไว้สักพัก แล้วจะมาแสกนเฉลยให้นะครับ

[JKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y

ยากมากมาย 555 แต่เจผ่านอยู่แล้วเห็นทำได้ตั้งหลายวิชา

ตอนนี้อัพหมดแล้วนะครับ 3 วิชาจาก 6 วิชา เขาแจกคืนมาแค่นี้

ตอนนี้อยากได้ Solution เรขามาก

ปล . ผมจะปล่อยคอมบิทิ้งไว้สักพัก แล้วจะมาแสกนเฉลยให้นะครับ

เหอๆๆๆ ทำได้ไม่เยอะหรอก =^^= เจอกันในค่าย 2 555+( เราจะรอดป่าวหว่า )

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

เหอๆๆๆ ทำได้ไม่เยอะหรอก =^^= เจอกันในค่าย 2 555+( เราจะรอดป่าวหว่า )

เจรอดอยู่แล้ว แต่เรานี่สิท่าจะบิน

เออใช่ เรียนฟังก์ชันรู้เรื่องป่ะ หลังๆอ่ะ

[JKung]

ข้อ 3 พีชคณิต

$x+y+z$ = $x^3+y^3+z^3$=$3$

$(x+y+z)^3$ =$ x^3+y^3+z^3$ + $3(x+y)(y+z)(z+x)$
$27$ = $3$ +$3(x+y)(y+z)(z+x)$
$8 = (x+y)(y+z)(z+x)$
= $2 x 2 x 2$
= $8 x (-1) x (-1)$

Case I $(x+y) = (y+z) = (z+x) = 2$

จะได้ $x=y=z =1$

Case II $(x+y) = 8$ $ (y+z) = -1$ $ (z+x) = -1$

จะได้ $x-z = 9$ ,$x+z = -1$ ดังนั้น $x = 4$ ,$ z = -5 $, $y = 4$

คำตอบทั้งหมดของระบบสมการ = (1,1,1) ,(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4) = 4 คำตอบ

[JKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y

เจรอดอยู่แล้ว แต่เรานี่สิท่าจะบิน

เออใช่ เรียนฟังก์ชันรู้เรื่องป่ะ หลังๆอ่ะ

ไม่ค่อยอ่ะ เราจะไปตั้งแต่ identity และ 555+

[JKung]

เพิ่มเติม

ข้อสอบ ทฤษฎีจำนวน (คะแนนเต็ม 30 คะแนน)

1.จงแสดงว่า ถ้า $gcd(a,b)$ = $1$ แล้ว $gcd(a+b,a^2+b^2)$ = $1$ หรือ $2$ (6 คะแนน)

2.นาย A ซื้อปลามา3ชนิด คือ ปลาอินทรี ปลากระเบน ปลาการ์ตูน รวมกันทั้งหมดมี $100$ ตัว
แต่ละตัวราคาตัวละ $120,50,25$ บาท ตามลำดับ ซื้อมาทั้งหมดเป็นจน.เงิน $4,000$ บาท
ถามว่า นาย A ซื้อปลามาอย่างละกี่ตัว (8 คะแนน)

3.ถ้า p เป็นจน.เฉพาะ โดยที่ p>$5$ แล้ว จงแสดงว่า $p^2+2$ เป็นจน.ประกอบ (8 คะแนน)

4. 4.1) จงแสดงว่า ถ้า $gcd(a,b) = 1 $ แล้ว $ gcd(a^2,b^2) = 1 $ (2 คะแนน)
4.2 ) จงแสดงว่า ถ้า $gcd(a,b) = p$ โดยที่ p เป็นจน.เฉพาะ แล้ว $gcd(a^2,b^2) = p^2$ (6 คะแนน)

ข้อสอบ สมการเชิงฟังก์ชัน (คะแนนเต็ม 15 คะแนน)

1.g : R$\rightarrow$R ; g(x+g(y)) = x+y ทุกๆ x และ y จงแสดงว่า g เป็นฟังก์ชัน 1-1และเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (7 คะแนน)

2.จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีฟังก์ชันผกผันหรือไม่ จงพิสูจน์ (8 คะแนน)

2.1 ให้$\alpha (x)$ = $x^2$ ; $x\geqslant 0$

= $-x^2$ ; $ x<0$

2.2 ให้$ \alpha (x)$ = $x$ ; x เป็นจน.คู่

= $2x$ ; x เป็นจน.คี่

[RM@]

$48^2 = (50-r_2+x)(50+r_2-x) \Rightarrow r_2-x = 14 \Rightarrow x = r_2-14 ~~~~~~...(1)$

$r_2^2+x^2 = (50-r_2)^2 \Rightarrow r_2^2 + (r_2-14)^2=(50-r_2)^2 \Rightarrow (r_2-24)(r_2+96) = 0$

$r_2 = 24$

$r_1^2 + (r_1+r_2-x)^2=(50-r_1)^2 \Rightarrow r_1^2 + (r_1+14)^2 = (50-r_1)^2 \Rightarrow (r_1-16)(r_1+144) = 0$

$r_1 = 16$

$GH = r_1+r_2 = 16 + 24 = 40$

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y

คอมบินาทอริก
3. จงหาจำนวนชุดคำตอบ $(x,y,z)$ ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบที่สอดคล้องกับสมการ
$$3 \leqslant x+y+x \leqslant 12$$

$$\binom{5}{2} + \binom{6}{2} + ... + \binom{14}{2} = \binom{15}{3} - \binom{4}{2} - \binom{3}{2} - \binom{2}{2} = 455-6-3-1=445$$

[TuaZaa08]

จขกท. คือ ผู้ใด ??

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TuaZaa08

จขกท. คือ ผู้ใด ??

ปวิธ ครับ = = แล้วนี่ใคร -*-