สอวน. มอ. 54

[TuaZaa08]

Combi ข้อ 2 ตอบ $\binom{ 9 }{ 2 } $

NT ข้อ 1 ใช้ Math Induction ได้ไหมอ่าครับ ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TuaZaa08

NT ข้อ 1 ใช้ Math Induction ได้ไหมอ่าครับ ?

ได้ครับ หรือจะใช้เอกลักษณ์

$(2n)!=2^n\cdot n![1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)]$ ก็ได้

[Euler-Fermat]

@#16 ครับ
(ข้อ 2 combi)ทำไมถึงเป็น $\binom{9}{2}$
อ่ะครับ ถ้าทำแบบ แบ่งเคส 8 เคส จะมีคำตอบเท่ากัน ไหมอ่าครับ

[กิตติ]

#18 ลองเช็คดูก็ได้นี่ครับ
1.2-2-9 ได้ $\frac{13!}{2!2!9!2!}\times 3! =12870$
2.2-3-8 ได้ $\frac{13!}{2!3!8!}\times 3! =77220$
3.2-4-7 ได้ $\frac{13!}{2!4!7!}\times 3!=154440 $
4.2-5-6 ได้ $\frac{13!}{2!5!6!}\times 3!=216216 $
5.3-3-7 ได้ $\frac{13!}{2!3!3!7!}\times 3! =102960$
6.3-4-6 ได้ $\frac{13!}{3!4!6!}\times 3! =360360$
7.3-5-5 ได้ $\frac{13!}{2!5!5!3!}\times 3! =216216$
8.4-4-5 ได้ $\frac{13!}{2!4!4!5!}\times 3! =270270$
รวมทั้งหมดได้ $1410552$
ไม่น่าจะเท่ากันมั้งครับ

[Euler-Fermat]

#19
คือที่ผมคิดตอนแรก ก้ไม่น่าจะเท่ากันยุแล้ว แต่คือผมอยากรู้แนวคิดว่า ทำไม ถึงเป็น $\binom{9}{2}$

[TuaZaa08]

คือที่ผมคิดผมคิดแบบนี้อ่าครับ ไม่รู้ว่าถูกป่าว

$ x+y+z = 13 $ โดยที่ $x,y,z\geqslant 2$

แล้วเราก็จะได้เป็น $ a=x-2$ เนื่องจาก $x\geqslant 2$ ดังนั้น $a\geqslant 0$
ในทำนองเดียวกันก็จะได้ $b=y-2 $ และ $c=z-2$ โดยที่ $ a,b,c\geqslant 0 $

แล้วก็จะได้ $(x-2)+(y-2)+(z-2)= 13-6 = 7$
$ a+b+c=7$ แล้วก็แจกของอ่ะครับ ก็ได้ $\binom{7+2}{2}$

ถ้าผมผิดอะไรตรงไหนก็รบกวนชี้แนะด้วยนะครับ

ผมไม่ค่อยเก่ง T T

[กิตติ]

วิธีที่TuaZaa08ใช้นั้น ใช้ได้กับการแบ่งของที่เหมือนกันหมด

ลองอ่านตรงนี้ดู

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

3. ช่วยพิจารณาความแตกต่างระหว่าง โจทย์ 2 ข้อนี้ทีครับ
(1) มีหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้ นักเรียน 2 คนคนหนึ่ง 5 เล่มคนหนึ่ง 3 เล่มได้กี่วิธี(112)
เฉลย $\binom{8}{5,3} + \binom{8}{3,5} = 112$
(2) แจกหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้นักเรียน 3 คน คนแรก 1 เล่มคนที่สอง 3 เล่ม คนที่สาม 4 เล่มทำได้กี่วิธี(280)
ถ้าทำตาม (1) จะเกิน ถ้าเป็นแบบนี้ $\binom{8}{3,4} = 280$
งงมากๆ เลยครับ

ตรงนี้เป็นตรงที่ตอบให้กับคำถามแรก

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RM@

ข้อแรกนั้น โจทย์ไม่ได้กำหนดว่า หนังสือที่แบ่งแล้ว จะให้เด็กคนไหน จึงมี 2 กรณี คือ คนแรกได้ 5 เล่ม อีกคนได้ 3 เล่ม และอีกกรณีก็สลับกัน

ส่วนข้อ 2.นั้นโจทย์บังคับเลยว่า หนังสือที่แ่บ่งออกเ้ป็น 3 กอง คือ กองละ 1, 3, 4 จะต้องแจกให้เด็กคนแรก, สอง, สาม ตามลำดับ ดังนั้นเมื่อแบ่งหนังสือออกเป็นกองแล้ว หนังสือกองต่าง ๆ ต้องแจกให้เด็กที่บังคับไว้เท่านั้น

วิธีการแจกของที่ต่างกัน ลงในกล่องที่ต่างกัน มีหลักการคิดอยู่ 2 ขั้น จำไว้ให้แม่นครับ

ขั้นที่ 1. แบ่งออกเป็นกอง ๆ ทำได้ $\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$ และถ้ามี $n_i = n_j$ เป็นจำนวน m กอง ก็ให้หารด้วย m! เช่น มีหนังสือต่างกัน 11 เล่ม ถ้าเป็น 5 กอง คือ 2, 2, 2, 2, 3 จะแบ่งได้ $\frac{11!}{2!2!2!2!3!4!}$ ถ้าคิดแบบพื้นฐานแต่ลีลาก็คือ $\binom{11}{2}\binom{9}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{3}\cdot\frac{1}{4!}$

ขั้นที่ 2. แจกของ ให้เอาหนังสือที่แบ่งในขั้นที่ 1 นั้นดูว่ากองไหน จะแจกให้ใครได้บ้าง ทีละกอง แล้วเอาไปคูณกันให้หมด อย่างในข้อแรก ถ้าทำแบบที่ว่าก็คือ

แบ่งหนังสือเป็นกองละ 5 กับ 3 ทำได้ $\frac{8!}{5!3!}$

จากนั้นก็แจกหนังสือ ,

ขั้นที่ 2.1 หนังสือกองละ 5 เลือกว่าจะแจกให้เด็กคนไหน ทำได้ 2 วิธี เพราะมีเด็กสองคนให้เลือก

ขั้นที่ 2.2 หนังสือกองละ 3 เลือกว่าจะแจกให้เด็กคนไหน ทำได้ 1 วิธี เพราะเหลือเด็กคนเดียว

ดังนั้นทำได้ทั้งหมด $\frac{8!}{5!3!}\times 2 \times 1 $

กับลองเข้าไปดูกระทู้การจัดสิ่งของ R สิ่งลงในN กล่อง

ลองดูวิธีคิดเวลาแจกของแตกต่างกัน จากความเห็นนี้ครับ
โจทย์ถามว่า

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SevEre

อยากถามว่า มีหนังสือ 10 เล่มที่ต่างกัน นำไปแจกให้เด็ก 4 คน ได้กี่วิธีเอ่ย....

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

คำถามคือ $4^{10}$ ครับ

หนังสือเล่มแรกเลือกว่าจะให้ใครดี เลือกได้ 4 วิธี
หนังสือเล่มที่เหลือก็เหมือนกันทั้ง 10 เล่ม

$(4)(4)...(4) = 4^{10}$

ปัญหาดังกล่าวอาจจะใช้ exponential generating function มาคิดก็ได้ครับ

$(1+x+x^2/2! + x^3/3! + ...)^4$

เราต้องหาสัมประสิทธิ์ของ $x^r/r!$

แต่
$(1+x+x^2/2! + x^3/3! + ...)^4 = e^{4x} = \sum_{r = 0}^{\infty} (4x)^r/r! = \sum_{r = 0}^{\infty}4^r (x^r/r!)$

ในที่นี้สัมประสิทธิ์ของ $x^r/r! $ คือ $4^r$ และมีหนังสือ 10 เล่ม ดังนั้น r = 10 จึงได้ $4^{10}$

$4^{10}$ คือจำนวนวิธีทั้งหมดที่เป็นไปได้ ซึ่งอาจจะมีบางคนไม่ได้หนังสือ แต่ไม่ใช่ว่าไม่ได้เลยสักคน เพราะไม่งั้นก็ไม่รู้จะเอาหนังสือไปแจกทำไม

[TuaZaa08]

ขอโทษครับ อ่านจนไม่ครบถ้่วน ไม่ได้อ่านตรงที่กล่าวไว้ว่า ต่างกันหมด

ขอโทษคร้าบบบ T T

[Memphis]

จริงๆข้อสามารถจัดรูปให้เป็นแค่สามตัวแปรได้ไม่ต้องคิดหนักเพราะโจทย์ให้เงื่อนไขตายตัวมาแล้ว จัดรูปจะได้ $$(x+1)^{2}+(\sqrt{2}y+\frac{5}{2\sqrt{2}})^{2}+3 (z+1)^{2}$$
เมื่อพิจารณาแล้วจะเห็นว่าตัวแปร $x$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็ม เราจึงสรุปได้ว่า ค่า
$$(\sqrt{2}y+\frac{5}{2\sqrt{2}})^{2}\leqslant \frac{25}{8}$$
ให้ $\displaystyle(\sqrt{2}y+\frac{5}{2\sqrt{2}})=\pm \frac{n}{2\sqrt{2}}$ จะได้ว่าค่า $n$ อยู่ในช่วง $[-5,5]$ เมื่อจัดรูปแล้วได้ $4y=(n-5)$ เมื่อลองแทนค่าจะได้ $y=0,-1,-2$ จะได้คู่อันดับอะไรไปคิดเอง

แค่นี้วุ่นกับ latex พอแล้ว นั่งพิมพ์แค่นี้ประมาณชั่วโมงเซ็งชีวิต ตอนนี้วอนผู้ใจดีดีกว่าค่ะ จะสังเกตว่าเผอิญสัญลักษณ์ตอนท้ายมันไม่ขึ้น^^"

แก้ไข LaTeX และภาษา : nongtum

[Memphis]

ขอบคุณจริงๆค่ะตอนนี้ก็จะพยายามฝึกlatexให้คล่องๆนะคะ

[Majesty]

ยากจัง งงมากๆ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

คำใบ้ที่ 1

คูณ 4 เข้าไปทั้ง 2 สมการแล้วจัดรูป

$x^2+2y^2+3z^2+4x+5y+6z+7=4y^2+(2x+4)^2+(2y+5)^2+12(z+1)^2-25$

$4y^2+(2x+4)^2+(2y+5)^2+12(z+1)^2=25$

คำใบ้ที่ 2

พิจารณาพจน์ $12(z+1)^2$ สามารถเป็นค่าใดได้บ้าง

อู้ววว มันมีวิธีจัดรูปง่ายกว่านี้นะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Memphis

จริงๆข้อสามารถจัดรูปให้เป็นแค่สามตัวแปรได้ไม่ต้องคิดหนักเพราะโจทย์ให้เงื่อนไขตายตัวมาแล้ว จัดรูปจะได้ $$(x+1)^{2}+(\sqrt{2}y+\frac{5}{2\sqrt{2}})^{2}+3 (z+1)^{2}$$

ถ้าหมายถึงข้อแรกของพีชคณิต อันนี้ยังไม่ครบนะครับ กระจายมาแล้วยังไม่ใช่

จัดรูปง่ายๆคือ
$$(x+2)^2+3(z+1)^2+(2y^2+5y)=0$$
ใช้ความรู้อสมการมาแก้นิดหน่อยตรงที่
$$2y^2+5y \le 0$$
ได้ $y=0,-1,-2$ ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

3.จงแสดงว่า ถ้า $\frac{a^2+b^2+c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มแล้ว $\frac{a^2}{4} ,\frac{b^2}{4} ,\frac{c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มด้วย

ผมว่าวิธีผมง่ายกว่าครับ. จากความจริงที่ว่า. $a^2\equiv 0,1(mod 4), b^2\equiv 0,1(mod 4) , c^2\equiv 0,1(mod4)$. ดังนั้น มีเพียงกรณีเดียวเท่านั้นที่. $a^2+b^2+c^2\equiv 0(mod4)$
คือ $a^2,b^2,c^2\equiv 0(mod4)$

[polsk133]

เยี่ยมครับ วิธี#28