พิสูจน์คอนกรูเอ็นซ์หน่อย

[NEWTON]

คราวนี้มาอีก 2 ข้อครับ
1. ถ้า a con b (mod m) และ c con d (mod m) จงพิสูจน์ว่า a.c con b.d (mod m)

2. ถ้า [a] และ [b] เป็นคอนกรูเอ็นซ์คลาสของ a และ b มอดูโล m จงพิสูจน์ว่า [a] = [b] ก็ต่อเมื่อ m หาร a - b ลงตัว

ใครพิสูจน์ได้ก็เอาเลยครับ ได้โปรด!!!

[tunococ]

ขอใช้ = แทน congruence นะ

จาก a = b (mod m)
จะได้ว่า ac = bc (mod m)

และ จาก c = d (mod m)
จะได้ว่า bc = bd (mod m)

ดังนั้น ac = bc (mod m) และ bc = bd (mod m) ทำให้ ac = bd (mod m)

[NEWTON]

คิดว่าคงจะถูกนะแต่ไม่แน่ใจ (แต่ว่าเร็วจัง ยังไม่ทันได้คิดทีมีคนตอบซะแล้ว) ถ้าถูกก็แล้วไป แต่ว่าข้อ1 นั้นเป็นการเรียกน้ำย่อยนะ ของจริงอยู่ข้อ 2 ต่างหากแต่คิดดูอีกทีแล้ว ข้อ 1 มีลางสังหรณ์ว่าจะผิดนะ เพราะว่าที่จริงต้องพิสูจน์ตามนิยามของคอนกรูเอ็นซ์ครับ
นั่นก็คือ a=b(mod m) หมายความว่ามี m หาร a-b ลงตัว นั่นก็แสดงว่าจะมีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ a-b = m.k ส่วน c=d(mod m) ก็มีความหมายเหมือนกัน เพราะฉะนั้นสิ่งที่ต้องพิสูจน์จะต้องทำให้ m หาร ac-bd ลงตัว
มาถึงตรงนี้คงเริ่ม อ๋อ! แล้วใช่ป่ะถ้ายังนึกไม่ออกลองเอาแนวคิดผมดูนะ

จาก a-b = m.k1 และ c-d = m.k2
จะได้ a = b+m.k1 และ c = d+m.k2
ส่วนที่เหลือก็คิดเอาเองแล้วกัน เพราะผมนึกออกแค่นี้เอง (มั่ว ๆ นิดหน่อย) กำลังหาทางที่จะทำให้ ac-bd = m คูณอะไรซักอย่างนั้นแหละ ถ้าใครบอกได้ก็ช่วยทีนะ

[tunococ]

อ๋อ นึกว่าจะเอาพิสูจน์สั้นๆ งั้นก็แปลงเป็นตามนิยามดูก็ได้นี่ครับ

a - b = km
ac - bc = ckm
c - d = lm
bc - bd = blm

จะได้ ac - bd = (ck + bl)m

สงสัยว่าจะถูกนะ ทีนี้ลองมาดูของผมมั่ง
จาก a = b+m.k1 และ c = d+m.k2
จะได้ a.c = (b+m.k1)(d+m.k2)
ac = bd+m.b.k2+m.d.k1+m^2.k1.k2
จะได้ ac-bd = m(b.k2+b.k1+k1.k2) (คงเข้าใจนะขอลัดเลยแล้วกัน)
ทีนี้สรุปได้เลยว่า ac=bd(mod m)
ไม่รู้ว่าจะถูกหรือเปล่านะ แต่คิดว่าคงจะเข้าท่าที่สุดแล้วแหละ และสุดท้ายนี้ยังขอยืนยันอีกครั้งว่า ข้อ 2 คือของจริง ข้อ 1 แค่เรียกน้ำย่อยเท่านั้น ขอให้มีความสุขกับข้อ 2 นะ

[tunococ]

ทำไม่ได้อะ ไม่รู้จัก อะไรคือคอนกรูเอนซ์คลาส??? (รู้จัก Number Theory แค่พื้นๆ)

นิยามของคอนกรูเอ็นซ์คลาสคือ
[a] = {x / x=a(mod m)} a,m ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น
หรือ [a] = {x / x= a+km ; k เป็นจำนวนเต็มบวก}
หรือ [a] = {a, a+-m , a+-2m , ... }

ตัวอย่างเช่น
[0] = {x / x=0(mod m)} = {0,+-m,+-2m ,...}
[1] = {x / x=1(mod m)} = {1, 1+-m, 1+-2m,...}
[2] = {x / x=2(mod m)} = {2, 2+-m, 2+-2m,...}
เป็นอย่างนี้เรื่อย ๆ จนถึง [m-1]
Ok นะหวังว้าคงจะเข้าใจ ส่วนวิธีพิสูจน์ดูจาประเด็นก่อน ๆ แล้วก็ควรจะศึกษาพื้นฐานของคอนฯก่อนนะ สำหรับข้อ 2 จะใช้สมบัติของคอนกรูเอ็นซ์ที่ว่า
ิb=b(mod m) หรือ m หาร b-b ลงตัว เพราะฉะนั้น b จะเป็นสมาชิกที่อยู่ใน [b]

ขอให้โชคดี

(1) จะแสดงว่าถ้า [a] = [b] แล้ว m | a-b
ถ้า [a] = [b] จะได้ว่า a เป็นสมาชิกของ [b]
นั่นคือ a = b (mod m) หรือ m | a-b นั่นเอง

(2) จะแสดงว่าถ้า m | a-b แล้ว [a] = [b]
ให้ m | a-b จะได้ a = b (mod m)
ถ้า x เป็นสมาชิกของ [a] จะได้ x = a (mod m)
จากเงื่อนไขที่ให้ ได้ตามอีกว่า x = b (mod m) นั่นคือ x เป็นสมาชิกของ [b] หรือกล่าวว่า [a] เป็นสับเซตของ [b]
ในทางกลับกัน แสดงได้ว่า [b] เป็นสับเซตของ [a] ดังนั้น [a] = [b]