Help_me (Russia)

[Influenza_Mathematics]

ให้ $p=543 , q= 2011$

จงหาค่าของ

$[\dfrac{p}{q}]+[\dfrac{2p}{q}]+[\dfrac{3p}{q}]+...+[\dfrac{(q-1)p}{q}] $ เมื่อกำหนด $[a] $เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งไม่เกิน $a$

[ShanaChan]

จาก $[a]=a-{a}$ เปลี่ยนทุกตัวให้เป็นรูปนี้
แล้วสังเกตว่าเซตของ ${p,2p,...,(q-1)p}={1,2,3,...,q-1}$ modulo q
ทำต่ออีกนิดนึงก็จบมั้งครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShanaChan

จาก $[a]=a-{a}$ เปลี่ยนทุกตัวให้เป็นรูปนี้
แล้วสังเกตว่าเซตของ ${p,2p,...,(q-1)p}={1,2,3,...,q-1}$ modulo q
ทำต่ออีกนิดนึงก็จบมั้งครับ

ช่วยพิมพ์สัญลักษณ์ให้เข้าใจหน่อยครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ให้ $p=543 , q= 2011$

จงหาค่าของ

$[\dfrac{p}{q}]+[\dfrac{2p}{q}]+[\dfrac{3p}{q}]+...+[\dfrac{(q-1)p}{q}] $ เมื่อกำหนด $[a] $เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งไม่เกิน $a$

$$\sum_{i=1}^{q-1}\left\lfloor\,\frac{ip}{q}\right\rfloor =\frac{1}{2}(p-1)(q-1)=544710$$

เอามาจาก Link

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$$\sum_{i=1}^{q-1}\left\lfloor\,\frac{ip}{q}\right\rfloor =\frac{1}{2}(p-1)(q-1)=544710$$

เอามาจาก Link

พิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ

[จูกัดเหลียง]

แหะๆ ผมก๊อบมาจากเว็บล้วนๆเลยครับ บังเอิญไปเจอพอดีอ่ะครับ
เลยพิสูจน์ให้ไม่ได้ = =

[ShanaChan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ช่วยพิมพ์สัญลักษณ์ให้เข้าใจหน่อยครับ

ขอโทษทีครับ ผมเพิ่งหัดใช้ Latex เลยพิมพ์ผิด
จะพิมพ์ว่า
จาก [x]=x-{x} เปลี่ยนในสมการให้เป็นในรูปนี้
แล้วเนื่องจาก
{p,2p,...,(q-1)p} เท่ากับ {1,2,...,q-1} เมื่อ p ไม่เท่ากับ q และเมื่อพิจารณาใน modulo q

[PP_nine]

เดี๋ยวอธิบายต่อให้ง่ายละกัน และก็เปลี่ยนโจทย์เป็นรูปทั่วไปเลยคือ

จงหาค่าของ $S=\sum_{k = 1}^{q-1}\left\lfloor\,\frac{kp}{q}\right\rfloor $ เมื่อ $ p,q\in \mathbf{N}$ และ $(p,q)=1$

ใช้จากที่ว่า $\left\lfloor\,x\right\rfloor =x-\left\{\,x\right\} $ แทนลงไปได้

$S=\sum \frac{kp}{q}-\sum\left\{\,\frac{kp}{q}\right\}$

เนื่องจาก {0,1,2,...,q-1} เป็น Complete Residue System mod q (เศษครบใน mod q) และ $(p,q)=1$

$\therefore$ {0,p,2p,...,(q-1)p} ก็เป็น CRS mod q ด้วยเช่นกัน (พิสูจน์ไม่ยากโดย contradiction)

นั่นคือเศษจากการหาร p,2p,...,(q-1)p ใน mod q คือการเรียงสับเปลี่ยนของ 1,2,...,q-1

$\therefore \sum\left\{\,\frac{kp}{q}\right\}=\frac{1}{q}+\frac{2}{q}+...+\frac{q-1}{q}$ เพราะเราพิจารณาแค่ fractional part ของมัน

กลับไปอันเดิมก้อนหน้าก็ง่ายแล้ว จัดรูปได้เป็น $\frac{1}{2}(p-1)(q-1)$ ตามต้องการครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShanaChan

ขอโทษทีครับ ผมเพิ่งหัดใช้ Latex เลยพิมพ์ผิด
จะพิมพ์ว่า
จาก [x]=x-{x} เปลี่ยนในสมการให้เป็นในรูปนี้
แล้วเนื่องจาก
{p,2p,...,(q-1)p} เท่ากับ {1,2,...,q-1} เมื่อ p ไม่เท่ากับ q และเมื่อพิจารณาใน modulo q

อันนี้ผิดนะครับ ต้องเปลี่ยนเป็น เมื่อ $(p,q)=1$ (ในกรณีที่ p,q ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะโจทย์ให้ $543=3\cdot 181$)

[ShanaChan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

อันนี้ผิดนะครับ ต้องเปลี่ยนเป็น เมื่อ $(p,q)=1$ (ในกรณีที่ p,q ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะโจทย์ให้ $543=3\cdot 181$)

โทษทีครับ ผมนึกว่า p และ q เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ เบลอไปหน่อย