ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยของญี่ปุ่นครับ

[Suwiwat B]

จงหาพหุนาม $f(x)$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

1. ถ้าสำหรับพหุนาม $g(x)$ ที่มี degree ไม่เกิน $2$ จะทำให้ $\int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx = 0$ เสมอ

2. $\int_{-1}^{1}(f(x))^2dx = 1$

3. $f(1) > 0$

[Thgx0312555]

มีหลายตัว
ตัวที่ง่ายที่สุดก็น่าจะเป็น $f(x)=\sqrt{\frac{7}{8}}(5x^3-3x)$

[tngngoapm]

ได้ฟังก์ชันคำตอบของ f(x) อยู่ในรูปของฟังก์ชันคี่ครับ.......$f(x)=-f(-x)$
คำตอบน่าจะมีหลายตัว(ไม่แน่ใจนะครับ).......แต่มีตัวหนึ่งแน่ๆเป็น....$f(x)=\sqrt{\frac{175}{8}}\left(\,x^{3}-\frac{3}{5} x\right) $

[Thgx0312555]

จริงด้วยครับ เมื่อกี้ลืมใส่รูท